Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31299 / 38217
↖ ↑ ↗
← S 28.656851°
W  8.069458°		 ← 535.97 m → S 28.656851°
W  8.063965°		 →
↑
535.99 m
↓
↑
535.99 m
↓
S 28.661671°
W  8.069458°		 ← 535.95 m →
287 270 m²		 S 28.661671°
W  8.063965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31299 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38217 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477592468261719 y=0.583152770996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477592468261719 × 216)
    floor (0.477592468261719 × 65536)
    floor (31299.5)     		tx = 31299
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583152770996094 × 216)
    floor (0.583152770996094 × 65536)
    floor (38217.5)     		ty = 38217
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31299 / 38217 ti = "16/31299/38217"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31299/38217.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31299 ÷ 216
    31299 ÷ 65536     		x = 0.477584838867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38217 ÷ 216
    38217 ÷ 65536     		y = 0.583145141601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477584838867188 × 2 - 1) × π
    -0.044830322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14083861
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583145141601562 × 2 - 1) × π
    -0.166290283203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.522416332059372
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14083861} λ = -0.14083861}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.522416332059372))-π/2
    2×atan(0.593085723114948)-π/2
    2×0.535319961503804-π/2
    1.07063992300761-1.57079632675     		φ = -0.50015640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14083861} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.069458°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50015640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.656851°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31299 KachelY 38217 -0.14083861 -0.50015640 -8.069458 -28.656851
    Oben rechts KachelX + 1 31300 KachelY 38217 -0.14074274 -0.50015640 -8.063965 -28.656851
    Unten links KachelX 31299 KachelY + 1 38218 -0.14083861 -0.50024053 -8.069458 -28.661671
    Unten rechts KachelX + 1 31300 KachelY + 1 38218 -0.14074274 -0.50024053 -8.063965 -28.661671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50015640--0.50024053) × R
    8.41300000000711e-05 × 6371000     		dl = 535.992230000453m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50015640--0.50024053) × R
    8.41300000000711e-05 × 6371000     		dr = 535.992230000453m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14083861--0.14074274) × cos(-0.50015640) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.877507569003185 × 6371000     		do = 535.970891229565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14083861--0.14074274) × cos(-0.50024053) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.877467220280555 × 6371000     		du = 535.946246723247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50015640)-sin(-0.50024053))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877507569003185-0.877467220280555)×R²
    abs(-0.14074274--0.14083861)×4.03487226300348e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.03487226300348e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.03487226300348e-05×40589641000000     		ar = 287269.628742756m²