Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31298 / 39472
↖ ↑ ↗
← S 34.524662°
W  8.074951°		 ← 503.22 m → S 34.524662°
W  8.069458°		 →
↑
503.18 m
↓
↑
503.18 m
↓
S 34.529187°
W  8.074951°		 ← 503.19 m →
253 203 m²		 S 34.529187°
W  8.069458°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477577209472656 y=0.602302551269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477577209472656 × 216)
    floor (0.477577209472656 × 65536)
    floor (31298.5)     		tx = 31298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602302551269531 × 216)
    floor (0.602302551269531 × 65536)
    floor (39472.5)     		ty = 39472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31298 / 39472 ti = "16/31298/39472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31298/39472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31298 ÷ 216
    31298 ÷ 65536     		x = 0.477569580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39472 ÷ 216
    39472 ÷ 65536     		y = 0.602294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477569580078125 × 2 - 1) × π
    -0.04486083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14093448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.602294921875 × 2 - 1) × π
    -0.20458984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.642737950105713
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14093448} λ = -0.14093448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.642737950105713))-π/2
    2×atan(0.52585069828214)-π/2
    2×0.484113655495592-π/2
    0.968227310991184-1.57079632675     		φ = -0.60256902
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14093448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.074951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60256902 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.524662°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31298 KachelY 39472 -0.14093448 -0.60256902 -8.074951 -34.524662
    Oben rechts KachelX + 1 31299 KachelY 39472 -0.14083861 -0.60256902 -8.069458 -34.524662
    Unten links KachelX 31298 KachelY + 1 39473 -0.14093448 -0.60264800 -8.074951 -34.529187
    Unten rechts KachelX + 1 31299 KachelY + 1 39473 -0.14083861 -0.60264800 -8.069458 -34.529187
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60256902--0.60264800) × R
    7.89799999999508e-05 × 6371000     		dl = 503.181579999686m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60256902--0.60264800) × R
    7.89799999999508e-05 × 6371000     		dr = 503.181579999686m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14093448--0.14083861) × cos(-0.60256902) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.82388231514847 × 6371000     		do = 503.21724201196m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14093448--0.14083861) × cos(-0.60264800) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.823837549802104 × 6371000     		du = 503.18989988588m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60256902)-sin(-0.60264800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.82388231514847-0.823837549802104)×R²
    abs(-0.14083861--0.14093448)×4.47653463656605e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.47653463656605e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.47653463656605e-05×40589641000000     		ar = 253202.768023059m²