Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31298 / 38209
↖ ↑ ↗
← S 28.618282°
W  8.074951°		 ← 536.17 m → S 28.618282°
W  8.069458°		 →
↑
536.18 m
↓
↑
536.18 m
↓
S 28.623104°
W  8.074951°		 ← 536.14 m →
287 478 m²		 S 28.623104°
W  8.069458°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38209 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477577209472656 y=0.583030700683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477577209472656 × 216)
    floor (0.477577209472656 × 65536)
    floor (31298.5)     		tx = 31298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583030700683594 × 216)
    floor (0.583030700683594 × 65536)
    floor (38209.5)     		ty = 38209
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31298 / 38209 ti = "16/31298/38209"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31298/38209.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31298 ÷ 216
    31298 ÷ 65536     		x = 0.477569580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38209 ÷ 216
    38209 ÷ 65536     		y = 0.583023071289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477569580078125 × 2 - 1) × π
    -0.04486083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14093448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583023071289062 × 2 - 1) × π
    -0.166046142578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.521649341665451
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14093448} λ = -0.14093448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.521649341665451))-π/2
    2×atan(0.593540788660492)-π/2
    2×0.535656543312678-π/2
    1.07131308662536-1.57079632675     		φ = -0.49948324
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14093448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.074951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49948324 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.618282°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31298 KachelY 38209 -0.14093448 -0.49948324 -8.074951 -28.618282
    Oben rechts KachelX + 1 31299 KachelY 38209 -0.14083861 -0.49948324 -8.069458 -28.618282
    Unten links KachelX 31298 KachelY + 1 38210 -0.14093448 -0.49956740 -8.074951 -28.623104
    Unten rechts KachelX + 1 31299 KachelY + 1 38210 -0.14083861 -0.49956740 -8.069458 -28.623104
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49948324--0.49956740) × R
    8.41599999999998e-05 × 6371000     		dl = 536.183359999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49948324--0.49956740) × R
    8.41599999999998e-05 × 6371000     		dr = 536.183359999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14093448--0.14083861) × cos(-0.49948324) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.87783019264546 × 6371000     		do = 536.167945804579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14093448--0.14083861) × cos(-0.49956740) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.877789879255294 × 6371000     		du = 536.143322878899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49948324)-sin(-0.49956740))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87783019264546-0.877789879255294)×R²
    abs(-0.14083861--0.14093448)×4.03133901665242e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.03133901665242e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.03133901665242e-05×40589641000000     		ar = 287477.729674055m²