Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31297 / 19265
↖ ↑ ↗
← N 59.352796°
W  8.080444°		 ← 311.38 m → N 59.352796°
W  8.074951°		 →
↑
311.35 m
↓
↑
311.35 m
↓
N 59.349996°
W  8.080444°		 ← 311.41 m →
96 953 m²		 N 59.349996°
W  8.074951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31297 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19265 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477561950683594 y=0.293968200683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477561950683594 × 216)
    floor (0.477561950683594 × 65536)
    floor (31297.5)     		tx = 31297
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293968200683594 × 216)
    floor (0.293968200683594 × 65536)
    floor (19265.5)     		ty = 19265
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31297 / 19265 ti = "16/31297/19265"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31297/19265.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31297 ÷ 216
    31297 ÷ 65536     		x = 0.477554321289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19265 ÷ 216
    19265 ÷ 65536     		y = 0.293960571289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477554321289062 × 2 - 1) × π
    -0.044891357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14103036
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293960571289062 × 2 - 1) × π
    0.412078857421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.29458391113924
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14103036} λ = -0.14103036}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29458391113924))-π/2
    2×atan(3.64947715139027)-π/2
    2×1.30334901934497-π/2
    2.60669803868993-1.57079632675     		φ = 1.03590171
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14103036} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.080444°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03590171 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.352796°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31297 KachelY 19265 -0.14103036 1.03590171 -8.080444 59.352796
    Oben rechts KachelX + 1 31298 KachelY 19265 -0.14093448 1.03590171 -8.074951 59.352796
    Unten links KachelX 31297 KachelY + 1 19266 -0.14103036 1.03585284 -8.080444 59.349996
    Unten rechts KachelX + 1 31298 KachelY + 1 19266 -0.14093448 1.03585284 -8.074951 59.349996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03590171-1.03585284) × R
    4.88700000000897e-05 × 6371000     		dl = 311.350770000571m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03590171-1.03585284) × R
    4.88700000000897e-05 × 6371000     		dr = 311.350770000571m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14103036--0.14093448) × cos(1.03590171) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.50975037873241 × 6371000     		do = 311.381773279229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14103036--0.14093448) × cos(1.03585284) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.509792422077081 × 6371000     		du = 311.407455518546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03590171)-sin(1.03585284))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.50975037873241-0.509792422077081)×R²
    abs(-0.14093448--0.14103036)×4.2043344670728e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.2043344670728e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.2043344670728e-05×40589641000000     		ar = 96952.9529864913m²