Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31297 / 15168
↖ ↑ ↗
← N 69.037142°
W  8.080444°		 ← 218.54 m → N 69.037142°
W  8.074951°		 →
↑
218.53 m
↓
↑
218.53 m
↓
N 69.035177°
W  8.080444°		 ← 218.56 m →
47 759 m²		 N 69.035177°
W  8.074951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31297 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15168 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477561950683594 y=0.231452941894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477561950683594 × 216)
    floor (0.477561950683594 × 65536)
    floor (31297.5)     		tx = 31297
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231452941894531 × 216)
    floor (0.231452941894531 × 65536)
    floor (15168.5)     		ty = 15168
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31297 / 15168 ti = "16/31297/15168"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31297/15168.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31297 ÷ 216
    31297 ÷ 65536     		x = 0.477554321289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15168 ÷ 216
    15168 ÷ 65536     		y = 0.2314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477554321289062 × 2 - 1) × π
    -0.044891357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14103036
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2314453125 × 2 - 1) × π
    0.537109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.68737886662598
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14103036} λ = -0.14103036}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68737886662598))-π/2
    2×atan(5.40529412396801)-π/2
    2×1.38786087791554-π/2
    2.77572175583108-1.57079632675     		φ = 1.20492543
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14103036} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.080444°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20492543 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.037142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31297 KachelY 15168 -0.14103036 1.20492543 -8.080444 69.037142
    Oben rechts KachelX + 1 31298 KachelY 15168 -0.14093448 1.20492543 -8.074951 69.037142
    Unten links KachelX 31297 KachelY + 1 15169 -0.14103036 1.20489113 -8.080444 69.035177
    Unten rechts KachelX + 1 31298 KachelY + 1 15169 -0.14093448 1.20489113 -8.074951 69.035177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20492543-1.20489113) × R
    3.43000000000426e-05 × 6371000     		dl = 218.525300000272m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20492543-1.20489113) × R
    3.43000000000426e-05 × 6371000     		dr = 218.525300000272m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14103036--0.14093448) × cos(1.20492543) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.357762684397617 × 6371000     		do = 218.539865253041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14103036--0.14093448) × cos(1.20489113) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.357794713957314 × 6371000     		du = 218.559430556985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20492543)-sin(1.20489113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357762684397617-0.357794713957314)×R²
    abs(-0.14093448--0.14103036)×3.20295596965559e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.20295596965559e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.20295596965559e-05×40589641000000     		ar = 47758.627377677m²