Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31294 / 39487
↖ ↑ ↗
← S 34.592519°
W  8.096924°		 ← 502.81 m → S 34.592519°
W  8.091431°		 →
↑
502.86 m
↓
↑
502.86 m
↓
S 34.597042°
W  8.096924°		 ← 502.78 m →
252 836 m²		 S 34.597042°
W  8.091431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31294 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39487 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477516174316406 y=0.602531433105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477516174316406 × 216)
    floor (0.477516174316406 × 65536)
    floor (31294.5)     		tx = 31294
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602531433105469 × 216)
    floor (0.602531433105469 × 65536)
    floor (39487.5)     		ty = 39487
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31294 / 39487 ti = "16/31294/39487"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31294/39487.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31294 ÷ 216
    31294 ÷ 65536     		x = 0.477508544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39487 ÷ 216
    39487 ÷ 65536     		y = 0.602523803710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477508544921875 × 2 - 1) × π
    -0.04498291015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14131798
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.602523803710938 × 2 - 1) × π
    -0.205047607421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.644176057094315
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14131798} λ = -0.14131798}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.644176057094315))-π/2
    2×atan(0.525095012226918)-π/2
    2×0.483521481537077-π/2
    0.967042963074154-1.57079632675     		φ = -0.60375336
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14131798} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.096924°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60375336 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.592519°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31294 KachelY 39487 -0.14131798 -0.60375336 -8.096924 -34.592519
    Oben rechts KachelX + 1 31295 KachelY 39487 -0.14122211 -0.60375336 -8.091431 -34.592519
    Unten links KachelX 31294 KachelY + 1 39488 -0.14131798 -0.60383229 -8.096924 -34.597042
    Unten rechts KachelX + 1 31295 KachelY + 1 39488 -0.14122211 -0.60383229 -8.091431 -34.597042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60375336--0.60383229) × R
    7.89300000000326e-05 × 6371000     		dl = 502.863030000208m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60375336--0.60383229) × R
    7.89300000000326e-05 × 6371000     		dr = 502.863030000208m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14131798--0.14122211) × cos(-0.60375336) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.823210499873657 × 6371000     		do = 502.806905458406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14131798--0.14122211) × cos(-0.60383229) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.823165685885591 × 6371000     		du = 502.77953362257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60375336)-sin(-0.60383229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.823210499873657-0.823165685885591)×R²
    abs(-0.14122211--0.14131798)×4.48139880659948e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.48139880659948e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.48139880659948e-05×40589641000000     		ar = 252836.12197262m²