Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31294 / 39451
↖ ↑ ↗
← S 34.429567°
W  8.096924°		 ← 503.79 m → S 34.429567°
W  8.091431°		 →
↑
503.75 m
↓
↑
503.75 m
↓
S 34.434098°
W  8.096924°		 ← 503.76 m →
253 780 m²		 S 34.434098°
W  8.091431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31294 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39451 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477516174316406 y=0.601982116699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477516174316406 × 216)
    floor (0.477516174316406 × 65536)
    floor (31294.5)     		tx = 31294
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.601982116699219 × 216)
    floor (0.601982116699219 × 65536)
    floor (39451.5)     		ty = 39451
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31294 / 39451 ti = "16/31294/39451"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31294/39451.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31294 ÷ 216
    31294 ÷ 65536     		x = 0.477508544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39451 ÷ 216
    39451 ÷ 65536     		y = 0.601974487304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477508544921875 × 2 - 1) × π
    -0.04498291015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14131798
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.601974487304688 × 2 - 1) × π
    -0.203948974609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.640724600321671
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14131798} λ = -0.14131798}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.640724600321671))-π/2
    2×atan(0.526910486175834)-π/2
    2×0.484943510136482-π/2
    0.969887020272965-1.57079632675     		φ = -0.60090931
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14131798} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.096924°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60090931 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.429567°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31294 KachelY 39451 -0.14131798 -0.60090931 -8.096924 -34.429567
    Oben rechts KachelX + 1 31295 KachelY 39451 -0.14122211 -0.60090931 -8.091431 -34.429567
    Unten links KachelX 31294 KachelY + 1 39452 -0.14131798 -0.60098838 -8.096924 -34.434098
    Unten rechts KachelX + 1 31295 KachelY + 1 39452 -0.14122211 -0.60098838 -8.091431 -34.434098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60090931--0.60098838) × R
    7.90699999999589e-05 × 6371000     		dl = 503.754969999738m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60090931--0.60098838) × R
    7.90699999999589e-05 × 6371000     		dr = 503.754969999738m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14131798--0.14122211) × cos(-0.60090931) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.824821838720795 × 6371000     		do = 503.791091519563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14131798--0.14122211) × cos(-0.60098838) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.824777130539594 × 6371000     		du = 503.763784309266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60090931)-sin(-0.60098838))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.824821838720795-0.824777130539594)×R²
    abs(-0.14122211--0.14131798)×4.47081812009475e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.47081812009475e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.47081812009475e-05×40589641000000     		ar = 253780.388255148m²