Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31293 / 39485
↖ ↑ ↗
← S 34.583475°
W  8.102417°		 ← 502.86 m → S 34.583475°
W  8.096924°		 →
↑
502.86 m
↓
↑
502.86 m
↓
S 34.587998°
W  8.102417°		 ← 502.83 m →
252 864 m²		 S 34.587998°
W  8.096924°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31293 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39485 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477500915527344 y=0.602500915527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477500915527344 × 216)
    floor (0.477500915527344 × 65536)
    floor (31293.5)     		tx = 31293
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602500915527344 × 216)
    floor (0.602500915527344 × 65536)
    floor (39485.5)     		ty = 39485
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31293 / 39485 ti = "16/31293/39485"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31293/39485.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31293 ÷ 216
    31293 ÷ 65536     		x = 0.477493286132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39485 ÷ 216
    39485 ÷ 65536     		y = 0.602493286132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477493286132812 × 2 - 1) × π
    -0.045013427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14141385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.602493286132812 × 2 - 1) × π
    -0.204986572265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.643984309495834
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14141385} λ = -0.14141385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.643984309495834))-π/2
    2×atan(0.525195707588225)-π/2
    2×0.483600410150832-π/2
    0.967200820301664-1.57079632675     		φ = -0.60359551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14141385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.102417°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60359551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.583475°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31293 KachelY 39485 -0.14141385 -0.60359551 -8.102417 -34.583475
    Oben rechts KachelX + 1 31294 KachelY 39485 -0.14131798 -0.60359551 -8.096924 -34.583475
    Unten links KachelX 31293 KachelY + 1 39486 -0.14141385 -0.60367444 -8.102417 -34.587998
    Unten rechts KachelX + 1 31294 KachelY + 1 39486 -0.14131798 -0.60367444 -8.096924 -34.587998
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60359551--0.60367444) × R
    7.89300000000326e-05 × 6371000     		dl = 502.863030000208m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60359551--0.60367444) × R
    7.89300000000326e-05 × 6371000     		dr = 502.863030000208m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14141385--0.14131798) × cos(-0.60359551) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.823300106787779 × 6371000     		do = 502.861636265658m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14141385--0.14131798) × cos(-0.60367444) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.823255303056454 × 6371000     		du = 502.834270694515m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60359551)-sin(-0.60367444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.823300106787779-0.823255303056454)×R²
    abs(-0.14131798--0.14141385)×4.48037313245386e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.48037313245386e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.48037313245386e-05×40589641000000     		ar = 252863.645647538m²