Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31291 / 15861
↖ ↑ ↗
← N 67.632226°
W  8.113403°		 ← 232.44 m → N 67.632226°
W  8.107910°		 →
↑
232.41 m
↓
↑
232.41 m
↓
N 67.630136°
W  8.113403°		 ← 232.46 m →
54 024 m²		 N 67.630136°
W  8.107910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31291 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15861 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477470397949219 y=0.242027282714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477470397949219 × 216)
    floor (0.477470397949219 × 65536)
    floor (31291.5)     		tx = 31291
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.242027282714844 × 216)
    floor (0.242027282714844 × 65536)
    floor (15861.5)     		ty = 15861
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31291 / 15861 ti = "16/31291/15861"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31291/15861.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31291 ÷ 216
    31291 ÷ 65536     		x = 0.477462768554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15861 ÷ 216
    15861 ÷ 65536     		y = 0.242019653320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477462768554688 × 2 - 1) × π
    -0.045074462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14160560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.242019653320312 × 2 - 1) × π
    0.515960693359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.62093832375258
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14160560} λ = -0.14160560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62093832375258))-π/2
    2×atan(5.05783397642814)-π/2
    2×1.37560067981367-π/2
    2.75120135962734-1.57079632675     		φ = 1.18040503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14160560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.113403°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18040503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.632226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31291 KachelY 15861 -0.14160560 1.18040503 -8.113403 67.632226
    Oben rechts KachelX + 1 31292 KachelY 15861 -0.14150973 1.18040503 -8.107910 67.632226
    Unten links KachelX 31291 KachelY + 1 15862 -0.14160560 1.18036855 -8.113403 67.630136
    Unten rechts KachelX + 1 31292 KachelY + 1 15862 -0.14150973 1.18036855 -8.107910 67.630136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18040503-1.18036855) × R
    3.64799999998944e-05 × 6371000     		dl = 232.414079999327m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18040503-1.18036855) × R
    3.64799999998944e-05 × 6371000     		dr = 232.414079999327m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14160560--0.14150973) × cos(1.18040503) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.38055029995869 × 6371000     		do = 232.435469084594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14160560--0.14150973) × cos(1.18036855) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.380584034958385 × 6371000     		du = 232.456074009829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18040503)-sin(1.18036855))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.38055029995869-0.380584034958385)×R²
    abs(-0.14150973--0.14160560)×3.37349996945013e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.37349996945013e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.37349996945013e-05×40589641000000     		ar = 54023.6701499001m²