Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3129 / 3021
↖ ↑ ↗
← S 64.661518°
E 95.009766°		 ← 4 182.50 m → S 64.661518°
E 95.097656°		 →
↑
4 179.57 m
↓
↑
4 179.57 m
↓
S 64.699105°
E 95.009766°		 ← 4 176.70 m →
17 468 913 m²		 S 64.699105°
E 95.097656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3021 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7640380859375 y=0.7376708984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7640380859375 × 212)
    floor (0.7640380859375 × 4096)
    floor (3129.5)     		tx = 3129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7376708984375 × 212)
    floor (0.7376708984375 × 4096)
    floor (3021.5)     		ty = 3021
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3129 / 3021 ti = "12/3129/3021"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3129/3021.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3129 ÷ 212
    3129 ÷ 4096     		x = 0.763916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3021 ÷ 212
    3021 ÷ 4096     		y = 0.737548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763916015625 × 2 - 1) × π
    0.52783203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.65823323
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.737548828125 × 2 - 1) × π
    -0.47509765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.49256330657007
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65823323} λ = 1.65823323}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49256330657007))-π/2
    2×atan(0.224795696108642)-π/2
    2×0.221119974456626-π/2
    0.442239948913251-1.57079632675     		φ = -1.12855638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65823323} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.009766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12855638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.661518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3129 KachelY 3021 1.65823323 -1.12855638 95.009766 -64.661518
    Oben rechts KachelX + 1 3130 KachelY 3021 1.65976721 -1.12855638 95.097656 -64.661518
    Unten links KachelX 3129 KachelY + 1 3022 1.65823323 -1.12921241 95.009766 -64.699105
    Unten rechts KachelX + 1 3130 KachelY + 1 3022 1.65976721 -1.12921241 95.097656 -64.699105
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12855638--1.12921241) × R
    0.00065603000000003 × 6371000     		dl = 4179.56713000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12855638--1.12921241) × R
    0.00065603000000003 × 6371000     		dr = 4179.56713000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65823323-1.65976721) × cos(-1.12855638) × R
    0.00153398000000005 × 0.427964990413793 × 6371000     		do = 4182.49610802395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65823323-1.65976721) × cos(-1.12921241) × R
    0.00153398000000005 × 0.427371981524642 × 6371000     		du = 4176.70064010846m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12855638)-sin(-1.12921241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427964990413793-0.427371981524642)×R²
    abs(1.65976721-1.65823323)×0.000593008889150426×R²
    0.00153398000000005×0.000593008889150426×6371000²
    0.00153398000000005×0.000593008889150426×40589641000000     		ar = 17468912.6073676m²