Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31289 / 20120
↖ ↑ ↗
← N 56.872996°
W  8.124390°		 ← 333.79 m → N 56.872996°
W  8.118897°		 →
↑
333.84 m
↓
↑
333.84 m
↓
N 56.869993°
W  8.124390°		 ← 333.82 m →
111 438 m²		 N 56.869993°
W  8.118897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477439880371094 y=0.307014465332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477439880371094 × 216)
    floor (0.477439880371094 × 65536)
    floor (31289.5)     		tx = 31289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307014465332031 × 216)
    floor (0.307014465332031 × 65536)
    floor (20120.5)     		ty = 20120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31289 / 20120 ti = "16/31289/20120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31289/20120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31289 ÷ 216
    31289 ÷ 65536     		x = 0.477432250976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20120 ÷ 216
    20120 ÷ 65536     		y = 0.3070068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477432250976562 × 2 - 1) × π
    -0.045135498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14179735
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3070068359375 × 2 - 1) × π
    0.385986328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.21261181278894
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14179735} λ = -0.14179735}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21261181278894))-π/2
    2×atan(3.36225477462507)-π/2
    2×1.28170867829083-π/2
    2.56341735658166-1.57079632675     		φ = 0.99262103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14179735} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.124390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99262103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.872996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31289 KachelY 20120 -0.14179735 0.99262103 -8.124390 56.872996
    Oben rechts KachelX + 1 31290 KachelY 20120 -0.14170148 0.99262103 -8.118897 56.872996
    Unten links KachelX 31289 KachelY + 1 20121 -0.14179735 0.99256863 -8.124390 56.869993
    Unten rechts KachelX + 1 31290 KachelY + 1 20121 -0.14170148 0.99256863 -8.118897 56.869993
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99262103-0.99256863) × R
    5.24000000000635e-05 × 6371000     		dl = 333.840400000405m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99262103-0.99256863) × R
    5.24000000000635e-05 × 6371000     		dr = 333.840400000405m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14179735--0.14170148) × cos(0.99262103) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.546496729226556 × 6371000     		do = 333.793518556575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14179735--0.14170148) × cos(0.99256863) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.546540611445126 × 6371000     		du = 333.820321278998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99262103)-sin(0.99256863))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.546496729226556-0.546540611445126)×R²
    abs(-0.14170148--0.14179735)×4.38822185702126e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.38822185702126e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.38822185702126e-05×40589641000000     		ar = 111438.235693648m²