Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31289 / 12777
↖ ↑ ↗
← N 73.263122°
W  8.124390°		 ← 175.89 m → N 73.263122°
W  8.118897°		 →
↑
175.90 m
↓
↑
175.90 m
↓
N 73.261540°
W  8.124390°		 ← 175.91 m →
30 942 m²		 N 73.261540°
W  8.118897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477439880371094 y=0.194969177246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477439880371094 × 216)
    floor (0.477439880371094 × 65536)
    floor (31289.5)     		tx = 31289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.194969177246094 × 216)
    floor (0.194969177246094 × 65536)
    floor (12777.5)     		ty = 12777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31289 / 12777 ti = "16/31289/12777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31289/12777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31289 ÷ 216
    31289 ÷ 65536     		x = 0.477432250976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12777 ÷ 216
    12777 ÷ 65536     		y = 0.194961547851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477432250976562 × 2 - 1) × π
    -0.045135498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14179735
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.194961547851562 × 2 - 1) × π
    0.610076904296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.91661312060909
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14179735} λ = -0.14179735}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91661312060909))-π/2
    2×atan(6.79789578293928)-π/2
    2×1.42473951246623-π/2
    2.84947902493246-1.57079632675     		φ = 1.27868270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14179735} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.124390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27868270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.263122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31289 KachelY 12777 -0.14179735 1.27868270 -8.124390 73.263122
    Oben rechts KachelX + 1 31290 KachelY 12777 -0.14170148 1.27868270 -8.118897 73.263122
    Unten links KachelX 31289 KachelY + 1 12778 -0.14179735 1.27865509 -8.124390 73.261540
    Unten rechts KachelX + 1 31290 KachelY + 1 12778 -0.14170148 1.27865509 -8.118897 73.261540
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27868270-1.27865509) × R
    2.76100000000667e-05 × 6371000     		dl = 175.903310000425m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27868270-1.27865509) × R
    2.76100000000667e-05 × 6371000     		dr = 175.903310000425m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14179735--0.14170148) × cos(1.27868270) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.287976954794282 × 6371000     		do = 175.892802030187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14179735--0.14170148) × cos(1.27865509) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.288003395051451 × 6371000     		du = 175.908951415901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27868270)-sin(1.27865509))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.287976954794282-0.288003395051451)×R²
    abs(-0.14170148--0.14179735)×2.64402571689693e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.64402571689693e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.64402571689693e-05×40589641000000     		ar = 30941.546449396m²