Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31288 / 15880
↖ ↑ ↗
← N 67.592475°
W  8.129883°		 ← 232.83 m → N 67.592475°
W  8.124390°		 →
↑
232.86 m
↓
↑
232.86 m
↓
N 67.590381°
W  8.129883°		 ← 232.85 m →
54 219 m²		 N 67.590381°
W  8.124390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15880 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477424621582031 y=0.242317199707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477424621582031 × 216)
    floor (0.477424621582031 × 65536)
    floor (31288.5)     		tx = 31288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.242317199707031 × 216)
    floor (0.242317199707031 × 65536)
    floor (15880.5)     		ty = 15880
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31288 / 15880 ti = "16/31288/15880"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31288/15880.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31288 ÷ 216
    31288 ÷ 65536     		x = 0.4774169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15880 ÷ 216
    15880 ÷ 65536     		y = 0.2423095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4774169921875 × 2 - 1) × π
    -0.045166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14189322
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2423095703125 × 2 - 1) × π
    0.515380859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.61911672156702
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14189322} λ = -0.14189322}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61911672156702))-π/2
    2×atan(5.04862900144909)-π/2
    2×1.37525378211439-π/2
    2.75050756422878-1.57079632675     		φ = 1.17971124
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14189322} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.129883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17971124 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.592475°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31288 KachelY 15880 -0.14189322 1.17971124 -8.129883 67.592475
    Oben rechts KachelX + 1 31289 KachelY 15880 -0.14179735 1.17971124 -8.124390 67.592475
    Unten links KachelX 31288 KachelY + 1 15881 -0.14189322 1.17967469 -8.129883 67.590381
    Unten rechts KachelX + 1 31289 KachelY + 1 15881 -0.14179735 1.17967469 -8.124390 67.590381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17971124-1.17967469) × R
    3.65500000001351e-05 × 6371000     		dl = 232.860050000861m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17971124-1.17967469) × R
    3.65500000001351e-05 × 6371000     		dr = 232.860050000861m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14189322--0.14179735) × cos(1.17971124) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.381191797714113 × 6371000     		do = 232.827288068089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14189322--0.14179735) × cos(1.17967469) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.381225587787485 × 6371000     		du = 232.847926631652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17971124)-sin(1.17967469))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381191797714113-0.381225587787485)×R²
    abs(-0.14179735--0.14189322)×3.3790073371287e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.3790073371287e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.3790073371287e-05×40589641000000     		ar = 54218.576895794m²