Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31288 / 15848
↖ ↑ ↗
← N 67.659386°
W  8.129883°		 ← 232.17 m → N 67.659386°
W  8.124390°		 →
↑
232.16 m
↓
↑
232.16 m
↓
N 67.657298°
W  8.129883°		 ← 232.19 m →
53 902 m²		 N 67.657298°
W  8.124390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15848 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477424621582031 y=0.241828918457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477424621582031 × 216)
    floor (0.477424621582031 × 65536)
    floor (31288.5)     		tx = 31288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.241828918457031 × 216)
    floor (0.241828918457031 × 65536)
    floor (15848.5)     		ty = 15848
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31288 / 15848 ti = "16/31288/15848"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31288/15848.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31288 ÷ 216
    31288 ÷ 65536     		x = 0.4774169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15848 ÷ 216
    15848 ÷ 65536     		y = 0.2418212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4774169921875 × 2 - 1) × π
    -0.045166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14189322
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2418212890625 × 2 - 1) × π
    0.516357421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.6221846831427
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14189322} λ = -0.14189322}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.6221846831427))-π/2
    2×atan(5.06414178538024)-π/2
    2×1.37583769440724-π/2
    2.75167538881447-1.57079632675     		φ = 1.18087906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14189322} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.129883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18087906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.659386°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31288 KachelY 15848 -0.14189322 1.18087906 -8.129883 67.659386
    Oben rechts KachelX + 1 31289 KachelY 15848 -0.14179735 1.18087906 -8.124390 67.659386
    Unten links KachelX 31288 KachelY + 1 15849 -0.14189322 1.18084262 -8.129883 67.657298
    Unten rechts KachelX + 1 31289 KachelY + 1 15849 -0.14179735 1.18084262 -8.124390 67.657298
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18087906-1.18084262) × R
    3.64400000001375e-05 × 6371000     		dl = 232.159240000876m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18087906-1.18084262) × R
    3.64400000001375e-05 × 6371000     		dr = 232.159240000876m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14189322--0.14179735) × cos(1.18087906) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.380111893131144 × 6371000     		do = 232.167695556045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14189322--0.14179735) × cos(1.18084262) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.380145597710983 × 6371000     		du = 232.188281901204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18087906)-sin(1.18084262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380111893131144-0.380145597710983)×R²
    abs(-0.14179735--0.14189322)×3.3704579839533e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.3704579839533e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.3704579839533e-05×40589641000000     		ar = 53902.2654141336m²