Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31287 / 39576
↖ ↑ ↗
← S 34.994004°
W  8.135376°		 ← 500.42 m → S 34.994004°
W  8.129883°		 →
↑
500.38 m
↓
↑
500.38 m
↓
S 34.998504°
W  8.135376°		 ← 500.39 m →
250 391 m²		 S 34.998504°
W  8.129883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31287 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477409362792969 y=0.603889465332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477409362792969 × 216)
    floor (0.477409362792969 × 65536)
    floor (31287.5)     		tx = 31287
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.603889465332031 × 216)
    floor (0.603889465332031 × 65536)
    floor (39576.5)     		ty = 39576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31287 / 39576 ti = "16/31287/39576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31287/39576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31287 ÷ 216
    31287 ÷ 65536     		x = 0.477401733398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39576 ÷ 216
    39576 ÷ 65536     		y = 0.6038818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477401733398438 × 2 - 1) × π
    -0.045196533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14198910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6038818359375 × 2 - 1) × π
    -0.207763671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.652708825226685
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14198910} λ = -0.14198910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.652708825226685))-π/2
    2×atan(0.520633559579744)-π/2
    2×0.480017871392607-π/2
    0.960035742785215-1.57079632675     		φ = -0.61076058
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14198910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.135376°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.61076058 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.994004°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31287 KachelY 39576 -0.14198910 -0.61076058 -8.135376 -34.994004
    Oben rechts KachelX + 1 31288 KachelY 39576 -0.14189322 -0.61076058 -8.129883 -34.994004
    Unten links KachelX 31287 KachelY + 1 39577 -0.14198910 -0.61083912 -8.135376 -34.998504
    Unten rechts KachelX + 1 31288 KachelY + 1 39577 -0.14189322 -0.61083912 -8.129883 -34.998504
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.61076058--0.61083912) × R
    7.85399999999603e-05 × 6371000     		dl = 500.378339999747m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.61076058--0.61083912) × R
    7.85399999999603e-05 × 6371000     		dr = 500.378339999747m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14198910--0.14189322) × cos(-0.61076058) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.81921206927891 × 6371000     		do = 500.416904952991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14198910--0.14189322) × cos(-0.61083912) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.819167024792535 × 6371000     		du = 500.389389461823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.61076058)-sin(-0.61083912))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.81921206927891-0.819167024792535)×R²
    abs(-0.14189322--0.14198910)×4.50444863747679e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.50444863747679e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.50444863747679e-05×40589641000000     		ar = 250390.896259211m²