Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31287 / 39503
↖ ↑ ↗
← S 34.664840°
W  8.135376°		 ← 502.42 m → S 34.664840°
W  8.129883°		 →
↑
502.42 m
↓
↑
502.42 m
↓
S 34.669359°
W  8.135376°		 ← 502.39 m →
252 418 m²		 S 34.669359°
W  8.129883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31287 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39503 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477409362792969 y=0.602775573730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477409362792969 × 216)
    floor (0.477409362792969 × 65536)
    floor (31287.5)     		tx = 31287
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602775573730469 × 216)
    floor (0.602775573730469 × 65536)
    floor (39503.5)     		ty = 39503
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31287 / 39503 ti = "16/31287/39503"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31287/39503.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31287 ÷ 216
    31287 ÷ 65536     		x = 0.477401733398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39503 ÷ 216
    39503 ÷ 65536     		y = 0.602767944335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477401733398438 × 2 - 1) × π
    -0.045196533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14198910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.602767944335938 × 2 - 1) × π
    -0.205535888671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.645710037882156
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14198910} λ = -0.14198910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.645710037882156))-π/2
    2×atan(0.524290144050358)-π/2
    2×0.482890362020607-π/2
    0.965780724041215-1.57079632675     		φ = -0.60501560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14198910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.135376°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60501560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.664840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31287 KachelY 39503 -0.14198910 -0.60501560 -8.135376 -34.664840
    Oben rechts KachelX + 1 31288 KachelY 39503 -0.14189322 -0.60501560 -8.129883 -34.664840
    Unten links KachelX 31287 KachelY + 1 39504 -0.14198910 -0.60509446 -8.135376 -34.669359
    Unten rechts KachelX + 1 31288 KachelY + 1 39504 -0.14189322 -0.60509446 -8.129883 -34.669359
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60501560--0.60509446) × R
    7.88600000000139e-05 × 6371000     		dl = 502.417060000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60501560--0.60509446) × R
    7.88600000000139e-05 × 6371000     		dr = 502.417060000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14198910--0.14189322) × cos(-0.60501560) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.822493224843909 × 6371000     		do = 502.421203685981m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14198910--0.14189322) × cos(-0.60509446) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.82244836869727 × 6371000     		du = 502.39380324242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60501560)-sin(-0.60509446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.822493224843909-0.82244836869727)×R²
    abs(-0.14189322--0.14198910)×4.48561466384056e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.48561466384056e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.48561466384056e-05×40589641000000     		ar = 252418.100943313m²