Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31287 / 38120
↖ ↑ ↗
← S 28.188244°
W  8.135376°		 ← 538.40 m → S 28.188244°
W  8.129883°		 →
↑
538.35 m
↓
↑
538.35 m
↓
S 28.193085°
W  8.135376°		 ← 538.38 m →
289 843 m²		 S 28.193085°
W  8.129883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31287 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477409362792969 y=0.581672668457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477409362792969 × 216)
    floor (0.477409362792969 × 65536)
    floor (31287.5)     		tx = 31287
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581672668457031 × 216)
    floor (0.581672668457031 × 65536)
    floor (38120.5)     		ty = 38120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31287 / 38120 ti = "16/31287/38120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31287/38120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31287 ÷ 216
    31287 ÷ 65536     		x = 0.477401733398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38120 ÷ 216
    38120 ÷ 65536     		y = 0.5816650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477401733398438 × 2 - 1) × π
    -0.045196533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14198910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5816650390625 × 2 - 1) × π
    -0.163330078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.513116573533081
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14198910} λ = -0.14198910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.513116573533081))-π/2
    2×atan(0.598627003473291)-π/2
    2×0.539409332451589-π/2
    1.07881866490318-1.57079632675     		φ = -0.49197766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14198910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.135376°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49197766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.188244°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31287 KachelY 38120 -0.14198910 -0.49197766 -8.135376 -28.188244
    Oben rechts KachelX + 1 31288 KachelY 38120 -0.14189322 -0.49197766 -8.129883 -28.188244
    Unten links KachelX 31287 KachelY + 1 38121 -0.14198910 -0.49206216 -8.135376 -28.193085
    Unten rechts KachelX + 1 31288 KachelY + 1 38121 -0.14189322 -0.49206216 -8.129883 -28.193085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49197766--0.49206216) × R
    8.45000000000429e-05 × 6371000     		dl = 538.349500000273m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49197766--0.49206216) × R
    8.45000000000429e-05 × 6371000     		dr = 538.349500000273m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14198910--0.14189322) × cos(-0.49197766) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.88140039576013 × 6371000     		do = 538.404736222776m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14198910--0.14189322) × cos(-0.49206216) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.881360477355136 × 6371000     		du = 538.380352006006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49197766)-sin(-0.49206216))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88140039576013-0.881360477355136)×R²
    abs(-0.14189322--0.14198910)×3.991840499451e-05×R²
    9.58800000000204e-05×3.991840499451e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×3.991840499451e-05×40589641000000     		ar = 289843.357100197m²