Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31285 / 17397
↖ ↑ ↗
← N 64.194423°
W  8.146362°		 ← 265.89 m → N 64.194423°
W  8.140869°		 →
↑
265.93 m
↓
↑
265.93 m
↓
N 64.192032°
W  8.146362°		 ← 265.91 m →
70 709 m²		 N 64.192032°
W  8.140869°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31285 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17397 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477378845214844 y=0.265464782714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477378845214844 × 216)
    floor (0.477378845214844 × 65536)
    floor (31285.5)     		tx = 31285
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.265464782714844 × 216)
    floor (0.265464782714844 × 65536)
    floor (17397.5)     		ty = 17397
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31285 / 17397 ti = "16/31285/17397"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31285/17397.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31285 ÷ 216
    31285 ÷ 65536     		x = 0.477371215820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17397 ÷ 216
    17397 ÷ 65536     		y = 0.265457153320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477371215820312 × 2 - 1) × π
    -0.045257568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14218084
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.265457153320312 × 2 - 1) × π
    0.469085693359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.47367616811977
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14218084} λ = -0.14218084}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47367616811977))-π/2
    2×atan(4.36525308492181)-π/2
    2×1.34560018858605-π/2
    2.6912003771721-1.57079632675     		φ = 1.12040405
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14218084} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.146362°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12040405 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.194423°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31285 KachelY 17397 -0.14218084 1.12040405 -8.146362 64.194423
    Oben rechts KachelX + 1 31286 KachelY 17397 -0.14208497 1.12040405 -8.140869 64.194423
    Unten links KachelX 31285 KachelY + 1 17398 -0.14218084 1.12036231 -8.146362 64.192032
    Unten rechts KachelX + 1 31286 KachelY + 1 17398 -0.14208497 1.12036231 -8.140869 64.192032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12040405-1.12036231) × R
    4.17400000001233e-05 × 6371000     		dl = 265.925540000786m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12040405-1.12036231) × R
    4.17400000001233e-05 × 6371000     		dr = 265.925540000786m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14218084--0.14208497) × cos(1.12040405) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.435318725138972 × 6371000     		do = 265.88735336687m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14218084--0.14208497) × cos(1.12036231) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.435356302296944 × 6371000     		du = 265.91030503539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12040405)-sin(1.12036231))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435318725138972-0.435356302296944)×R²
    abs(-0.14208497--0.14218084)×3.75771579714246e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.75771579714246e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.75771579714246e-05×40589641000000     		ar = 70709.289751255m²