Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31285 / 17141
↖ ↑ ↗
← N 64.799866°
W  8.146362°		 ← 260.06 m → N 64.799866°
W  8.140869°		 →
↑
260.13 m
↓
↑
260.13 m
↓
N 64.797526°
W  8.146362°		 ← 260.08 m →
67 652 m²		 N 64.797526°
W  8.140869°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31285 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477378845214844 y=0.261558532714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477378845214844 × 216)
    floor (0.477378845214844 × 65536)
    floor (31285.5)     		tx = 31285
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261558532714844 × 216)
    floor (0.261558532714844 × 65536)
    floor (17141.5)     		ty = 17141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31285 / 17141 ti = "16/31285/17141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31285/17141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31285 ÷ 216
    31285 ÷ 65536     		x = 0.477371215820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17141 ÷ 216
    17141 ÷ 65536     		y = 0.261550903320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477371215820312 × 2 - 1) × π
    -0.045257568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14218084
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261550903320312 × 2 - 1) × π
    0.476898193359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.49821986072524
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14218084} λ = -0.14218084}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49821986072524))-π/2
    2×atan(4.47371813639787)-π/2
    2×1.3508836659935-π/2
    2.70176733198701-1.57079632675     		φ = 1.13097101
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14218084} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.146362°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13097101 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.799866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31285 KachelY 17141 -0.14218084 1.13097101 -8.146362 64.799866
    Oben rechts KachelX + 1 31286 KachelY 17141 -0.14208497 1.13097101 -8.140869 64.799866
    Unten links KachelX 31285 KachelY + 1 17142 -0.14218084 1.13093018 -8.146362 64.797526
    Unten rechts KachelX + 1 31286 KachelY + 1 17142 -0.14208497 1.13093018 -8.140869 64.797526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13097101-1.13093018) × R
    4.08300000001027e-05 × 6371000     		dl = 260.127930000654m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13097101-1.13093018) × R
    4.08300000001027e-05 × 6371000     		dr = 260.127930000654m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14218084--0.14208497) × cos(1.13097101) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.425781413647844 × 6371000     		do = 260.062080149408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14218084--0.14208497) × cos(1.13093018) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.425818357340706 × 6371000     		du = 260.084644905187m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13097101)-sin(1.13093018))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425781413647844-0.425818357340706)×R²
    abs(-0.14208497--0.14218084)×3.69436928622791e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.69436928622791e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.69436928622791e-05×40589641000000     		ar = 67652.3454518328m²