Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31284 / 38299
↖ ↑ ↗
← S 29.051368°
W  8.151856°		 ← 534 m → S 29.051368°
W  8.146362°		 →
↑
533.95 m
↓
↑
533.95 m
↓
S 29.056170°
W  8.151856°		 ← 533.97 m →
285 123 m²		 S 29.056170°
W  8.146362°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31284 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38299 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477363586425781 y=0.584403991699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477363586425781 × 216)
    floor (0.477363586425781 × 65536)
    floor (31284.5)     		tx = 31284
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584403991699219 × 216)
    floor (0.584403991699219 × 65536)
    floor (38299.5)     		ty = 38299
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31284 / 38299 ti = "16/31284/38299"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31284/38299.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31284 ÷ 216
    31284 ÷ 65536     		x = 0.47735595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38299 ÷ 216
    38299 ÷ 65536     		y = 0.584396362304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47735595703125 × 2 - 1) × π
    -0.0452880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14227672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584396362304688 × 2 - 1) × π
    -0.168792724609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.530277983597061
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14227672} λ = -0.14227672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.530277983597061))-π/2
    2×atan(0.588441369891718)-π/2
    2×0.531877153467521-π/2
    1.06375430693504-1.57079632675     		φ = -0.50704202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14227672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.151856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50704202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.051368°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31284 KachelY 38299 -0.14227672 -0.50704202 -8.151856 -29.051368
    Oben rechts KachelX + 1 31285 KachelY 38299 -0.14218084 -0.50704202 -8.146362 -29.051368
    Unten links KachelX 31284 KachelY + 1 38300 -0.14227672 -0.50712583 -8.151856 -29.056170
    Unten rechts KachelX + 1 31285 KachelY + 1 38300 -0.14218084 -0.50712583 -8.146362 -29.056170
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50704202--0.50712583) × R
    8.38100000000175e-05 × 6371000     		dl = 533.953510000111m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50704202--0.50712583) × R
    8.38100000000175e-05 × 6371000     		dr = 533.953510000111m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14227672--0.14218084) × cos(-0.50704202) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.87418470597289 × 6371000     		do = 533.997021436864m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14227672--0.14218084) × cos(-0.50712583) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.874144005306976 × 6371000     		du = 533.972159374853m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50704202)-sin(-0.50712583))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87418470597289-0.874144005306976)×R²
    abs(-0.14218084--0.14227672)×4.07006659139952e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.07006659139952e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.07006659139952e-05×40589641000000     		ar = 285122.946500049m²