Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31284 / 17028
↖ ↑ ↗
← N 65.062868°
W  8.151856°		 ← 257.55 m → N 65.062868°
W  8.146362°		 →
↑
257.58 m
↓
↑
257.58 m
↓
N 65.060551°
W  8.151856°		 ← 257.57 m →
66 342 m²		 N 65.060551°
W  8.146362°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31284 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17028 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477363586425781 y=0.259834289550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477363586425781 × 216)
    floor (0.477363586425781 × 65536)
    floor (31284.5)     		tx = 31284
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259834289550781 × 216)
    floor (0.259834289550781 × 65536)
    floor (17028.5)     		ty = 17028
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31284 / 17028 ti = "16/31284/17028"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31284/17028.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31284 ÷ 216
    31284 ÷ 65536     		x = 0.47735595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17028 ÷ 216
    17028 ÷ 65536     		y = 0.25982666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47735595703125 × 2 - 1) × π
    -0.0452880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14227672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25982666015625 × 2 - 1) × π
    0.4803466796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.50905360003937
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14227672} λ = -0.14227672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50905360003937))-π/2
    2×atan(4.52244872306436)-π/2
    2×1.35317879277748-π/2
    2.70635758555495-1.57079632675     		φ = 1.13556126
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14227672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.151856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13556126 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.062868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31284 KachelY 17028 -0.14227672 1.13556126 -8.151856 65.062868
    Oben rechts KachelX + 1 31285 KachelY 17028 -0.14218084 1.13556126 -8.146362 65.062868
    Unten links KachelX 31284 KachelY + 1 17029 -0.14227672 1.13552083 -8.151856 65.060551
    Unten rechts KachelX + 1 31285 KachelY + 1 17029 -0.14218084 1.13552083 -8.146362 65.060551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13556126-1.13552083) × R
    4.04300000000912e-05 × 6371000     		dl = 257.579530000581m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13556126-1.13552083) × R
    4.04300000000912e-05 × 6371000     		dr = 257.579530000581m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14227672--0.14218084) × cos(1.13556126) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.421623564756106 × 6371000     		do = 257.549378534123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14227672--0.14218084) × cos(1.13552083) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.421660225161324 × 6371000     		du = 257.571772596908m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13556126)-sin(1.13552083))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421623564756106-0.421660225161324)×R²
    abs(-0.14218084--0.14227672)×3.6660405218214e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.6660405218214e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.6660405218214e-05×40589641000000     		ar = 66342.3320100857m²