Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31284 / 12756
↖ ↑ ↗
← N 73.296310°
W  8.151856°		 ← 175.57 m → N 73.296310°
W  8.146362°		 →
↑
175.58 m
↓
↑
175.58 m
↓
N 73.294731°
W  8.151856°		 ← 175.59 m →
30 829 m²		 N 73.294731°
W  8.146362°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31284 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12756 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477363586425781 y=0.194648742675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477363586425781 × 216)
    floor (0.477363586425781 × 65536)
    floor (31284.5)     		tx = 31284
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.194648742675781 × 216)
    floor (0.194648742675781 × 65536)
    floor (12756.5)     		ty = 12756
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31284 / 12756 ti = "16/31284/12756"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31284/12756.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31284 ÷ 216
    31284 ÷ 65536     		x = 0.47735595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12756 ÷ 216
    12756 ÷ 65536     		y = 0.19464111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47735595703125 × 2 - 1) × π
    -0.0452880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14227672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19464111328125 × 2 - 1) × π
    0.6107177734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.91862647039313
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14227672} λ = -0.14227672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91862647039313))-π/2
    2×atan(6.81159611209524)-π/2
    2×1.42502913232988-π/2
    2.85005826465976-1.57079632675     		φ = 1.27926194
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14227672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.151856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27926194 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.296310°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31284 KachelY 12756 -0.14227672 1.27926194 -8.151856 73.296310
    Oben rechts KachelX + 1 31285 KachelY 12756 -0.14218084 1.27926194 -8.146362 73.296310
    Unten links KachelX 31284 KachelY + 1 12757 -0.14227672 1.27923438 -8.151856 73.294731
    Unten rechts KachelX + 1 31285 KachelY + 1 12757 -0.14218084 1.27923438 -8.146362 73.294731
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27926194-1.27923438) × R
    2.75600000001486e-05 × 6371000     		dl = 175.584760000947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27926194-1.27923438) × R
    2.75600000001486e-05 × 6371000     		dr = 175.584760000947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14227672--0.14218084) × cos(1.27926194) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.287422204662054 × 6371000     		do = 175.572279102665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14227672--0.14218084) × cos(1.27923438) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.287448601630759 × 6371000     		du = 175.588403730066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27926194)-sin(1.27923438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.287422204662054-0.287448601630759)×R²
    abs(-0.14218084--0.14227672)×2.63969687043231e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.63969687043231e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.63969687043231e-05×40589641000000     		ar = 30829.2321106356m²