Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31283 / 39562
↖ ↑ ↗
← S 34.930979°
W  8.157349°		 ← 500.75 m → S 34.930979°
W  8.151856°		 →
↑
500.76 m
↓
↑
500.76 m
↓
S 34.935482°
W  8.157349°		 ← 500.72 m →
250 749 m²		 S 34.935482°
W  8.151856°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31283 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39562 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477348327636719 y=0.603675842285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477348327636719 × 216)
    floor (0.477348327636719 × 65536)
    floor (31283.5)     		tx = 31283
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.603675842285156 × 216)
    floor (0.603675842285156 × 65536)
    floor (39562.5)     		ty = 39562
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31283 / 39562 ti = "16/31283/39562"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31283/39562.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31283 ÷ 216
    31283 ÷ 65536     		x = 0.477340698242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39562 ÷ 216
    39562 ÷ 65536     		y = 0.603668212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477340698242188 × 2 - 1) × π
    -0.045318603515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14237259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.603668212890625 × 2 - 1) × π
    -0.20733642578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.651366592037323
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14237259} λ = -0.14237259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.651366592037323))-π/2
    2×atan(0.521332840416897)-π/2
    2×0.4805678697502-π/2
    0.9611357395004-1.57079632675     		φ = -0.60966059
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14237259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.157349°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60966059 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.930979°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31283 KachelY 39562 -0.14237259 -0.60966059 -8.157349 -34.930979
    Oben rechts KachelX + 1 31284 KachelY 39562 -0.14227672 -0.60966059 -8.151856 -34.930979
    Unten links KachelX 31283 KachelY + 1 39563 -0.14237259 -0.60973919 -8.157349 -34.935482
    Unten rechts KachelX + 1 31284 KachelY + 1 39563 -0.14227672 -0.60973919 -8.151856 -34.935482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60966059--0.60973919) × R
    7.86000000000397e-05 × 6371000     		dl = 500.760600000253m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60966059--0.60973919) × R
    7.86000000000397e-05 × 6371000     		dr = 500.760600000253m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14237259--0.14227672) × cos(-0.60966059) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.819842407575003 × 6371000     		do = 500.749715874156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14237259--0.14227672) × cos(-0.60973919) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.819797399529065 × 6371000     		du = 500.722225510146m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60966059)-sin(-0.60973919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.819842407575003-0.819797399529065)×R²
    abs(-0.14227672--0.14237259)×4.50080459379887e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.50080459379887e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.50080459379887e-05×40589641000000     		ar = 250748.845254281m²