Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31282 / 39561
↖ ↑ ↗
← S 34.926475°
W  8.162842°		 ← 500.83 m → S 34.926475°
W  8.157349°		 →
↑
500.82 m
↓
↑
500.82 m
↓
S 34.930979°
W  8.162842°		 ← 500.80 m →
250 821 m²		 S 34.930979°
W  8.157349°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477333068847656 y=0.603660583496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477333068847656 × 216)
    floor (0.477333068847656 × 65536)
    floor (31282.5)     		tx = 31282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.603660583496094 × 216)
    floor (0.603660583496094 × 65536)
    floor (39561.5)     		ty = 39561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31282 / 39561 ti = "16/31282/39561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31282/39561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31282 ÷ 216
    31282 ÷ 65536     		x = 0.477325439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39561 ÷ 216
    39561 ÷ 65536     		y = 0.603652954101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477325439453125 × 2 - 1) × π
    -0.04534912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14246847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.603652954101562 × 2 - 1) × π
    -0.207305908203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.651270718238083
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14246847} λ = -0.14246847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.651270718238083))-π/2
    2×atan(0.521382824973043)-π/2
    2×0.480607171532181-π/2
    0.961214343064363-1.57079632675     		φ = -0.60958198
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14246847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.162842°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60958198 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.926475°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31282 KachelY 39561 -0.14246847 -0.60958198 -8.162842 -34.926475
    Oben rechts KachelX + 1 31283 KachelY 39561 -0.14237259 -0.60958198 -8.157349 -34.926475
    Unten links KachelX 31282 KachelY + 1 39562 -0.14246847 -0.60966059 -8.162842 -34.930979
    Unten rechts KachelX + 1 31283 KachelY + 1 39562 -0.14237259 -0.60966059 -8.157349 -34.930979
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60958198--0.60966059) × R
    7.8609999999979e-05 × 6371000     		dl = 500.824309999866m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60958198--0.60966059) × R
    7.8609999999979e-05 × 6371000     		dr = 500.824309999866m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14246847--0.14237259) × cos(-0.60958198) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.819887416281235 × 6371000     		do = 500.829441668875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14246847--0.14237259) × cos(-0.60966059) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.819842407575003 × 6371000     		du = 500.80194803406m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60958198)-sin(-0.60966059))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.819887416281235-0.819842407575003)×R²
    abs(-0.14237259--0.14246847)×4.50087062322524e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.50087062322524e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.50087062322524e-05×40589641000000     		ar = 250820.674940507m²