Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31281 / 19877
↖ ↑ ↗
← N 57.595391°
W  8.168335°		 ← 327.32 m → N 57.595391°
W  8.162842°		 →
↑
327.34 m
↓
↑
327.34 m
↓
N 57.592447°
W  8.168335°		 ← 327.34 m →
107 149 m²		 N 57.592447°
W  8.162842°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19877 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477317810058594 y=0.303306579589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477317810058594 × 216)
    floor (0.477317810058594 × 65536)
    floor (31281.5)     		tx = 31281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303306579589844 × 216)
    floor (0.303306579589844 × 65536)
    floor (19877.5)     		ty = 19877
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31281 / 19877 ti = "16/31281/19877"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31281/19877.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31281 ÷ 216
    31281 ÷ 65536     		x = 0.477310180664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19877 ÷ 216
    19877 ÷ 65536     		y = 0.303298950195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477310180664062 × 2 - 1) × π
    -0.045379638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14256434
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.303298950195312 × 2 - 1) × π
    0.393402099609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.23590914600429
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14256434} λ = -0.14256434}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23590914600429))-π/2
    2×atan(3.44150593021897)-π/2
    2×1.28801276869248-π/2
    2.57602553738496-1.57079632675     		φ = 1.00522921
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14256434} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.168335°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00522921 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.595391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31281 KachelY 19877 -0.14256434 1.00522921 -8.168335 57.595391
    Oben rechts KachelX + 1 31282 KachelY 19877 -0.14246847 1.00522921 -8.162842 57.595391
    Unten links KachelX 31281 KachelY + 1 19878 -0.14256434 1.00517783 -8.168335 57.592447
    Unten rechts KachelX + 1 31282 KachelY + 1 19878 -0.14246847 1.00517783 -8.162842 57.592447
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00522921-1.00517783) × R
    5.13799999999343e-05 × 6371000     		dl = 327.341979999581m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00522921-1.00517783) × R
    5.13799999999343e-05 × 6371000     		dr = 327.341979999581m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14256434--0.14246847) × cos(1.00522921) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.535894710264981 × 6371000     		do = 327.317935037537m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14256434--0.14246847) × cos(1.00517783) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.535938088911726 × 6371000     		du = 327.344430184448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00522921)-sin(1.00517783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.535894710264981-0.535938088911726)×R²
    abs(-0.14246847--0.14256434)×4.33786467448627e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.33786467448627e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.33786467448627e-05×40589641000000     		ar = 107149.237455017m²