Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31280 / 17448
↖ ↑ ↗
← N 64.072199°
W  8.173828°		 ← 267.06 m → N 64.072199°
W  8.168335°		 →
↑
267.07 m
↓
↑
267.07 m
↓
N 64.069798°
W  8.173828°		 ← 267.08 m →
71 327 m²		 N 64.069798°
W  8.168335°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477302551269531 y=0.266242980957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477302551269531 × 216)
    floor (0.477302551269531 × 65536)
    floor (31280.5)     		tx = 31280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.266242980957031 × 216)
    floor (0.266242980957031 × 65536)
    floor (17448.5)     		ty = 17448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31280 / 17448 ti = "16/31280/17448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31280/17448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31280 ÷ 216
    31280 ÷ 65536     		x = 0.477294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17448 ÷ 216
    17448 ÷ 65536     		y = 0.2662353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477294921875 × 2 - 1) × π
    -0.04541015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14266021
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2662353515625 × 2 - 1) × π
    0.467529296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.46878660435852
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14266021} λ = -0.14266021}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.46878660435852))-π/2
    2×atan(4.34396099855668)-π/2
    2×1.34453358420965-π/2
    2.68906716841931-1.57079632675     		φ = 1.11827084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14266021} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.173828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11827084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.072199°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31280 KachelY 17448 -0.14266021 1.11827084 -8.173828 64.072199
    Oben rechts KachelX + 1 31281 KachelY 17448 -0.14256434 1.11827084 -8.168335 64.072199
    Unten links KachelX 31280 KachelY + 1 17449 -0.14266021 1.11822892 -8.173828 64.069798
    Unten rechts KachelX + 1 31281 KachelY + 1 17449 -0.14256434 1.11822892 -8.168335 64.069798
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11827084-1.11822892) × R
    4.19200000001396e-05 × 6371000     		dl = 267.07232000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11827084-1.11822892) × R
    4.19200000001396e-05 × 6371000     		dr = 267.07232000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14266021--0.14256434) × cos(1.11827084) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.437238211837838 × 6371000     		do = 267.059752367215m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14266021--0.14256434) × cos(1.11822892) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.437275912026747 × 6371000     		du = 267.082779181527m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11827084)-sin(1.11822892))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.437238211837838-0.437275912026747)×R²
    abs(-0.14256434--0.14266021)×3.77001889084183e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.77001889084183e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.77001889084183e-05×40589641000000     		ar = 71327.3425661462m²