Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3128 / 3639
↖ ↑ ↗
← N 19.683970°
W 42.539062°		 ← 4 600.95 m → N 19.683970°
W 42.495117°		 →
↑
4 601.52 m
↓
↑
4 601.52 m
↓
N 19.642588°
W 42.539062°		 ← 4 602.14 m →
21 174 090 m²		 N 19.642588°
W 42.495117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3639 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.38189697265625 y=0.44427490234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.38189697265625 × 213)
    floor (0.38189697265625 × 8192)
    floor (3128.5)     		tx = 3128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.44427490234375 × 213)
    floor (0.44427490234375 × 8192)
    floor (3639.5)     		ty = 3639
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3128 / 3639 ti = "13/3128/3639"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3128/3639.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3128 ÷ 213
    3128 ÷ 8192     		x = 0.3818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3639 ÷ 213
    3639 ÷ 8192     		y = 0.4442138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3818359375 × 2 - 1) × π
    -0.236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.74244670
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4442138671875 × 2 - 1) × π
    0.111572265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.350514610021851
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74244670} λ = -0.74244670}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.350514610021851))-π/2
    2×atan(1.41979800290888)-π/2
    2×0.957173208633141-π/2
    1.91434641726628-1.57079632675     		φ = 0.34355009
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74244670} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.539062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34355009 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.683970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3128 KachelY 3639 -0.74244670 0.34355009 -42.539062 19.683970
    Oben rechts KachelX + 1 3129 KachelY 3639 -0.74167971 0.34355009 -42.495117 19.683970
    Unten links KachelX 3128 KachelY + 1 3640 -0.74244670 0.34282783 -42.539062 19.642588
    Unten rechts KachelX + 1 3129 KachelY + 1 3640 -0.74167971 0.34282783 -42.495117 19.642588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34355009-0.34282783) × R
    0.000722259999999975 × 6371000     		dl = 4601.51845999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34355009-0.34282783) × R
    0.000722259999999975 × 6371000     		dr = 4601.51845999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74244670--0.74167971) × cos(0.34355009) × R
    0.000766990000000023 × 0.941564817996425 × 6371000     		do = 4600.95016523974m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74244670--0.74167971) × cos(0.34282783) × R
    0.000766990000000023 × 0.941807852557362 × 6371000     		du = 4602.137751991m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34355009)-sin(0.34282783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941564817996425-0.941807852557362)×R²
    abs(-0.74167971--0.74244670)×0.000243034560937327×R²
    0.000766990000000023×0.000243034560937327×6371000²
    0.000766990000000023×0.000243034560937327×40589641000000     		ar = 21174090.3905418m²