Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31279 / 39511
↖ ↑ ↗
← S 34.700977°
W  8.179321°		 ← 502.20 m → S 34.700977°
W  8.173828°		 →
↑
502.16 m
↓
↑
502.16 m
↓
S 34.705493°
W  8.179321°		 ← 502.17 m →
252 180 m²		 S 34.705493°
W  8.173828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31279 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477287292480469 y=0.602897644042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477287292480469 × 216)
    floor (0.477287292480469 × 65536)
    floor (31279.5)     		tx = 31279
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602897644042969 × 216)
    floor (0.602897644042969 × 65536)
    floor (39511.5)     		ty = 39511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31279 / 39511 ti = "16/31279/39511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31279/39511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31279 ÷ 216
    31279 ÷ 65536     		x = 0.477279663085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39511 ÷ 216
    39511 ÷ 65536     		y = 0.602890014648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477279663085938 × 2 - 1) × π
    -0.045440673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14275609
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.602890014648438 × 2 - 1) × π
    -0.205780029296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.646477028276077
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14275609} λ = -0.14275609}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.646477028276077))-π/2
    2×atan(0.523888172720024)-π/2
    2×0.482575008631516-π/2
    0.965150017263032-1.57079632675     		φ = -0.60564631
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14275609} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.179321°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60564631 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.700977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31279 KachelY 39511 -0.14275609 -0.60564631 -8.179321 -34.700977
    Oben rechts KachelX + 1 31280 KachelY 39511 -0.14266021 -0.60564631 -8.173828 -34.700977
    Unten links KachelX 31279 KachelY + 1 39512 -0.14275609 -0.60572513 -8.179321 -34.705493
    Unten rechts KachelX + 1 31280 KachelY + 1 39512 -0.14266021 -0.60572513 -8.173828 -34.705493
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60564631--0.60572513) × R
    7.8819999999924e-05 × 6371000     		dl = 502.162219999516m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60564631--0.60572513) × R
    7.8819999999924e-05 × 6371000     		dr = 502.162219999516m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14275609--0.14266021) × cos(-0.60564631) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.822134329254074 × 6371000     		do = 502.20197178362m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14275609--0.14266021) × cos(-0.60572513) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.822089454982815 × 6371000     		du = 502.174560268607m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60564631)-sin(-0.60572513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.822134329254074-0.822089454982815)×R²
    abs(-0.14266021--0.14275609)×4.48742712596539e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.48742712596539e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.48742712596539e-05×40589641000000     		ar = 252179.974655991m²