Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31279 / 17455
↖ ↑ ↗
← N 64.055382°
W  8.179321°		 ← 267.25 m → N 64.055382°
W  8.173828°		 →
↑
267.26 m
↓
↑
267.26 m
↓
N 64.052978°
W  8.179321°		 ← 267.27 m →
71 429 m²		 N 64.052978°
W  8.173828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31279 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17455 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477287292480469 y=0.266349792480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477287292480469 × 216)
    floor (0.477287292480469 × 65536)
    floor (31279.5)     		tx = 31279
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.266349792480469 × 216)
    floor (0.266349792480469 × 65536)
    floor (17455.5)     		ty = 17455
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31279 / 17455 ti = "16/31279/17455"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31279/17455.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31279 ÷ 216
    31279 ÷ 65536     		x = 0.477279663085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17455 ÷ 216
    17455 ÷ 65536     		y = 0.266342163085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477279663085938 × 2 - 1) × π
    -0.045440673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14275609
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.266342163085938 × 2 - 1) × π
    0.467315673828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.46811548776384
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14275609} λ = -0.14275609}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.46811548776384))-π/2
    2×atan(4.34104667227965)-π/2
    2×1.34438682101618-π/2
    2.68877364203237-1.57079632675     		φ = 1.11797732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14275609} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.179321°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11797732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.055382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31279 KachelY 17455 -0.14275609 1.11797732 -8.179321 64.055382
    Oben rechts KachelX + 1 31280 KachelY 17455 -0.14266021 1.11797732 -8.173828 64.055382
    Unten links KachelX 31279 KachelY + 1 17456 -0.14275609 1.11793537 -8.179321 64.052978
    Unten rechts KachelX + 1 31280 KachelY + 1 17456 -0.14266021 1.11793537 -8.173828 64.052978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11797732-1.11793537) × R
    4.19499999999573e-05 × 6371000     		dl = 267.263449999728m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11797732-1.11793537) × R
    4.19499999999573e-05 × 6371000     		dr = 267.263449999728m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14275609--0.14266021) × cos(1.11797732) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.437502168958469 × 6371000     		do = 267.24884741147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14275609--0.14266021) × cos(1.11793537) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.437539890741556 × 6371000     		du = 267.271889818497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11797732)-sin(1.11793537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.437502168958469-0.437539890741556)×R²
    abs(-0.14266021--0.14275609)×3.77217830870302e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.77217830870302e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.77217830870302e-05×40589641000000     		ar = 71428.9281750108m²