Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31278 / 39496
↖ ↑ ↗
← S 34.633208°
W  8.184814°		 ← 502.56 m → S 34.633208°
W  8.179321°		 →
↑
502.54 m
↓
↑
502.54 m
↓
S 34.637727°
W  8.184814°		 ← 502.53 m →
252 552 m²		 S 34.637727°
W  8.179321°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39496 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477272033691406 y=0.602668762207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477272033691406 × 216)
    floor (0.477272033691406 × 65536)
    floor (31278.5)     		tx = 31278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602668762207031 × 216)
    floor (0.602668762207031 × 65536)
    floor (39496.5)     		ty = 39496
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31278 / 39496 ti = "16/31278/39496"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31278/39496.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31278 ÷ 216
    31278 ÷ 65536     		x = 0.477264404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39496 ÷ 216
    39496 ÷ 65536     		y = 0.6026611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477264404296875 × 2 - 1) × π
    -0.04547119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14285196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6026611328125 × 2 - 1) × π
    -0.205322265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.645038921287476
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14285196} λ = -0.14285196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.645038921287476))-π/2
    2×atan(0.524642121962356)-π/2
    2×0.483166409114372-π/2
    0.966332818228744-1.57079632675     		φ = -0.60446351
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14285196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.184814°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60446351 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.633208°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31278 KachelY 39496 -0.14285196 -0.60446351 -8.184814 -34.633208
    Oben rechts KachelX + 1 31279 KachelY 39496 -0.14275609 -0.60446351 -8.179321 -34.633208
    Unten links KachelX 31278 KachelY + 1 39497 -0.14285196 -0.60454239 -8.184814 -34.637727
    Unten rechts KachelX + 1 31279 KachelY + 1 39497 -0.14275609 -0.60454239 -8.179321 -34.637727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60446351--0.60454239) × R
    7.88800000000034e-05 × 6371000     		dl = 502.544480000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60446351--0.60454239) × R
    7.88800000000034e-05 × 6371000     		dr = 502.544480000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14285196--0.14275609) × cos(-0.60446351) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.822807114417136 × 6371000     		do = 502.560522554966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14285196--0.14275609) × cos(-0.60454239) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.822762282718202 × 6371000     		du = 502.533139901549m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60446351)-sin(-0.60454239))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.822807114417136-0.822762282718202)×R²
    abs(-0.14275609--0.14285196)×4.4831698933212e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.4831698933212e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.4831698933212e-05×40589641000000     		ar = 252552.136105949m²