Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31278 / 39454
↖ ↑ ↗
← S 34.443158°
W  8.184814°		 ← 503.71 m → S 34.443158°
W  8.179321°		 →
↑
503.75 m
↓
↑
503.75 m
↓
S 34.447689°
W  8.184814°		 ← 503.68 m →
253 739 m²		 S 34.447689°
W  8.179321°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39454 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477272033691406 y=0.602027893066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477272033691406 × 216)
    floor (0.477272033691406 × 65536)
    floor (31278.5)     		tx = 31278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602027893066406 × 216)
    floor (0.602027893066406 × 65536)
    floor (39454.5)     		ty = 39454
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31278 / 39454 ti = "16/31278/39454"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31278/39454.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31278 ÷ 216
    31278 ÷ 65536     		x = 0.477264404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39454 ÷ 216
    39454 ÷ 65536     		y = 0.602020263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477264404296875 × 2 - 1) × π
    -0.04547119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14285196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.602020263671875 × 2 - 1) × π
    -0.20404052734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.641012221719391
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14285196} λ = -0.14285196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.641012221719391))-π/2
    2×atan(0.526758957237854)-π/2
    2×0.484824901576517-π/2
    0.969649803153035-1.57079632675     		φ = -0.60114652
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14285196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.184814°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60114652 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.443158°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31278 KachelY 39454 -0.14285196 -0.60114652 -8.184814 -34.443158
    Oben rechts KachelX + 1 31279 KachelY 39454 -0.14275609 -0.60114652 -8.179321 -34.443158
    Unten links KachelX 31278 KachelY + 1 39455 -0.14285196 -0.60122559 -8.184814 -34.447689
    Unten rechts KachelX + 1 31279 KachelY + 1 39455 -0.14275609 -0.60122559 -8.179321 -34.447689
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60114652--0.60122559) × R
    7.90699999999589e-05 × 6371000     		dl = 503.754969999738m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60114652--0.60122559) × R
    7.90699999999589e-05 × 6371000     		dr = 503.754969999738m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14285196--0.14275609) × cos(-0.60114652) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.824687698707791 × 6371000     		do = 503.709160440152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14285196--0.14275609) × cos(-0.60122559) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.824642975057748 × 6371000     		du = 503.681843781676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60114652)-sin(-0.60122559))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.824687698707791-0.824642975057748)×R²
    abs(-0.14275609--0.14285196)×4.47236500427106e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.47236500427106e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.47236500427106e-05×40589641000000     		ar = 253739.112687106m²