Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31278 / 17451
↖ ↑ ↗
← N 64.064993°
W  8.184814°		 ← 267.13 m → N 64.064993°
W  8.179321°		 →
↑
267.20 m
↓
↑
267.20 m
↓
N 64.062590°
W  8.184814°		 ← 267.15 m →
71 380 m²		 N 64.062590°
W  8.179321°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17451 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477272033691406 y=0.266288757324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477272033691406 × 216)
    floor (0.477272033691406 × 65536)
    floor (31278.5)     		tx = 31278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.266288757324219 × 216)
    floor (0.266288757324219 × 65536)
    floor (17451.5)     		ty = 17451
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31278 / 17451 ti = "16/31278/17451"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31278/17451.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31278 ÷ 216
    31278 ÷ 65536     		x = 0.477264404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17451 ÷ 216
    17451 ÷ 65536     		y = 0.266281127929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477264404296875 × 2 - 1) × π
    -0.04547119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14285196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.266281127929688 × 2 - 1) × π
    0.467437744140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.4684989829608
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14285196} λ = -0.14285196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4684989829608))-π/2
    2×atan(4.34271176208481)-π/2
    2×1.34447069654396-π/2
    2.68894139308791-1.57079632675     		φ = 1.11814507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14285196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.184814°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11814507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.064993°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31278 KachelY 17451 -0.14285196 1.11814507 -8.184814 64.064993
    Oben rechts KachelX + 1 31279 KachelY 17451 -0.14275609 1.11814507 -8.179321 64.064993
    Unten links KachelX 31278 KachelY + 1 17452 -0.14285196 1.11810313 -8.184814 64.062590
    Unten rechts KachelX + 1 31279 KachelY + 1 17452 -0.14275609 1.11810313 -8.179321 64.062590
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11814507-1.11810313) × R
    4.19400000000181e-05 × 6371000     		dl = 267.199740000115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11814507-1.11810313) × R
    4.19400000000181e-05 × 6371000     		dr = 267.199740000115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14285196--0.14275609) × cos(1.11814507) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.437351319092148 × 6371000     		do = 267.128836894845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14285196--0.14275609) × cos(1.11810313) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.437389034960865 × 6371000     		du = 267.151873286193m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11814507)-sin(1.11810313))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.437351319092148-0.437389034960865)×R²
    abs(-0.14275609--0.14285196)×3.7715868717092e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.7715868717092e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.7715868717092e-05×40589641000000     		ar = 71379.8334342669m²