Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31278 / 17058
↖ ↑ ↗
← N 64.993296°
W  8.184814°		 ← 258.19 m → N 64.993296°
W  8.179321°		 →
↑
258.22 m
↓
↑
258.22 m
↓
N 64.990973°
W  8.184814°		 ← 258.22 m →
66 673 m²		 N 64.990973°
W  8.179321°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17058 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477272033691406 y=0.260292053222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477272033691406 × 216)
    floor (0.477272033691406 × 65536)
    floor (31278.5)     		tx = 31278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260292053222656 × 216)
    floor (0.260292053222656 × 65536)
    floor (17058.5)     		ty = 17058
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31278 / 17058 ti = "16/31278/17058"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31278/17058.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31278 ÷ 216
    31278 ÷ 65536     		x = 0.477264404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17058 ÷ 216
    17058 ÷ 65536     		y = 0.260284423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477264404296875 × 2 - 1) × π
    -0.04547119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14285196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260284423828125 × 2 - 1) × π
    0.47943115234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.50617738606216
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14285196} λ = -0.14285196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50617738606216))-π/2
    2×atan(4.50945988113455)-π/2
    2×1.35257166175459-π/2
    2.70514332350917-1.57079632675     		φ = 1.13434700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14285196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.184814°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13434700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.993296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31278 KachelY 17058 -0.14285196 1.13434700 -8.184814 64.993296
    Oben rechts KachelX + 1 31279 KachelY 17058 -0.14275609 1.13434700 -8.179321 64.993296
    Unten links KachelX 31278 KachelY + 1 17059 -0.14285196 1.13430647 -8.184814 64.990973
    Unten rechts KachelX + 1 31279 KachelY + 1 17059 -0.14275609 1.13430647 -8.179321 64.990973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13434700-1.13430647) × R
    4.05299999999276e-05 × 6371000     		dl = 258.216629999539m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13434700-1.13430647) × R
    4.05299999999276e-05 × 6371000     		dr = 258.216629999539m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14285196--0.14275609) × cos(1.13434700) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.422724309361955 × 6371000     		do = 258.194838239973m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14285196--0.14275609) × cos(1.13430647) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.422761039664805 × 6371000     		du = 258.217272659742m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13434700)-sin(1.13430647))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422724309361955-0.422761039664805)×R²
    abs(-0.14275609--0.14285196)×3.67303028501187e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.67303028501187e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.67303028501187e-05×40589641000000     		ar = 66673.0974927283m²