Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31278 / 14442
↖ ↑ ↗
← N 70.418397°
W  8.184814°		 ← 204.70 m → N 70.418397°
W  8.179321°		 →
↑
204.70 m
↓
↑
204.70 m
↓
N 70.416556°
W  8.184814°		 ← 204.72 m →
41 905 m²		 N 70.416556°
W  8.179321°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477272033691406 y=0.220375061035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477272033691406 × 216)
    floor (0.477272033691406 × 65536)
    floor (31278.5)     		tx = 31278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.220375061035156 × 216)
    floor (0.220375061035156 × 65536)
    floor (14442.5)     		ty = 14442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31278 / 14442 ti = "16/31278/14442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31278/14442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31278 ÷ 216
    31278 ÷ 65536     		x = 0.477264404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14442 ÷ 216
    14442 ÷ 65536     		y = 0.220367431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477264404296875 × 2 - 1) × π
    -0.04547119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14285196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.220367431640625 × 2 - 1) × π
    0.55926513671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.7569832448743
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14285196} λ = -0.14285196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7569832448743))-π/2
    2×atan(5.79492911647209)-π/2
    2×1.39991460283149-π/2
    2.79982920566298-1.57079632675     		φ = 1.22903288
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14285196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.184814°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22903288 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.418397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31278 KachelY 14442 -0.14285196 1.22903288 -8.184814 70.418397
    Oben rechts KachelX + 1 31279 KachelY 14442 -0.14275609 1.22903288 -8.179321 70.418397
    Unten links KachelX 31278 KachelY + 1 14443 -0.14285196 1.22900075 -8.184814 70.416556
    Unten rechts KachelX + 1 31279 KachelY + 1 14443 -0.14275609 1.22900075 -8.179321 70.416556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22903288-1.22900075) × R
    3.21300000001301e-05 × 6371000     		dl = 204.700230000829m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22903288-1.22900075) × R
    3.21300000001301e-05 × 6371000     		dr = 204.700230000829m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14285196--0.14275609) × cos(1.22903288) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.33514907044275 × 6371000     		do = 204.704953353295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14285196--0.14275609) × cos(1.22900075) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.335179342034839 × 6371000     		du = 204.723442871522m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22903288)-sin(1.22900075))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.33514907044275-0.335179342034839)×R²
    abs(-0.14275609--0.14285196)×3.02715920895147e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.02715920895147e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.02715920895147e-05×40589641000000     		ar = 41905.0434416247m²