Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31277 / 38106
↖ ↑ ↗
← S 28.120439°
W  8.190307°		 ← 538.69 m → S 28.120439°
W  8.184814°		 →
↑
538.73 m
↓
↑
538.73 m
↓
S 28.125283°
W  8.190307°		 ← 538.67 m →
290 203 m²		 S 28.125283°
W  8.184814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31277 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477256774902344 y=0.581459045410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477256774902344 × 216)
    floor (0.477256774902344 × 65536)
    floor (31277.5)     		tx = 31277
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581459045410156 × 216)
    floor (0.581459045410156 × 65536)
    floor (38106.5)     		ty = 38106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31277 / 38106 ti = "16/31277/38106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31277/38106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31277 ÷ 216
    31277 ÷ 65536     		x = 0.477249145507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38106 ÷ 216
    38106 ÷ 65536     		y = 0.581451416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477249145507812 × 2 - 1) × π
    -0.045501708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14294783
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581451416015625 × 2 - 1) × π
    -0.16290283203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.511774340343719
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14294783} λ = -0.14294783}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.511774340343719))-π/2
    2×atan(0.599431039986936)-π/2
    2×0.540001042306346-π/2
    1.08000208461269-1.57079632675     		φ = -0.49079424
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14294783} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.190307°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49079424 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.120439°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31277 KachelY 38106 -0.14294783 -0.49079424 -8.190307 -28.120439
    Oben rechts KachelX + 1 31278 KachelY 38106 -0.14285196 -0.49079424 -8.184814 -28.120439
    Unten links KachelX 31277 KachelY + 1 38107 -0.14294783 -0.49087880 -8.190307 -28.125283
    Unten rechts KachelX + 1 31278 KachelY + 1 38107 -0.14285196 -0.49087880 -8.184814 -28.125283
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49079424--0.49087880) × R
    8.45600000000113e-05 × 6371000     		dl = 538.731760000072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49079424--0.49087880) × R
    8.45600000000113e-05 × 6371000     		dr = 538.731760000072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14294783--0.14285196) × cos(-0.49079424) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.881958790448652 × 6371000     		do = 538.689642850018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14294783--0.14285196) × cos(-0.49087880) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.881918931924679 × 6371000     		du = 538.665297751044m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49079424)-sin(-0.49087880))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881958790448652-0.881918931924679)×R²
    abs(-0.14285196--0.14294783)×3.98585239734794e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.98585239734794e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.98585239734794e-05×40589641000000     		ar = 290202.661820275m²