Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31277 / 17437
↖ ↑ ↗
← N 64.098607°
W  8.190307°		 ← 266.81 m → N 64.098607°
W  8.184814°		 →
↑
266.82 m
↓
↑
266.82 m
↓
N 64.096208°
W  8.190307°		 ← 266.83 m →
71 192 m²		 N 64.096208°
W  8.184814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31277 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17437 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477256774902344 y=0.266075134277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477256774902344 × 216)
    floor (0.477256774902344 × 65536)
    floor (31277.5)     		tx = 31277
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.266075134277344 × 216)
    floor (0.266075134277344 × 65536)
    floor (17437.5)     		ty = 17437
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31277 / 17437 ti = "16/31277/17437"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31277/17437.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31277 ÷ 216
    31277 ÷ 65536     		x = 0.477249145507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17437 ÷ 216
    17437 ÷ 65536     		y = 0.266067504882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477249145507812 × 2 - 1) × π
    -0.045501708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14294783
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.266067504882812 × 2 - 1) × π
    0.467864990234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.46984121615016
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14294783} λ = -0.14294783}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.46984121615016))-π/2
    2×atan(4.34854460758742)-π/2
    2×1.34476403318453-π/2
    2.68952806636907-1.57079632675     		φ = 1.11873174
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14294783} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.190307°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11873174 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.098607°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31277 KachelY 17437 -0.14294783 1.11873174 -8.190307 64.098607
    Oben rechts KachelX + 1 31278 KachelY 17437 -0.14285196 1.11873174 -8.184814 64.098607
    Unten links KachelX 31277 KachelY + 1 17438 -0.14294783 1.11868986 -8.190307 64.096208
    Unten rechts KachelX + 1 31278 KachelY + 1 17438 -0.14285196 1.11868986 -8.184814 64.096208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11873174-1.11868986) × R
    4.18800000001607e-05 × 6371000     		dl = 266.817480001024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11873174-1.11868986) × R
    4.18800000001607e-05 × 6371000     		dr = 266.817480001024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14294783--0.14285196) × cos(1.11873174) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.436823656963526 × 6371000     		do = 266.806547319991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14294783--0.14285196) × cos(1.11868986) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.436861329615488 × 6371000     		du = 266.829557315073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11873174)-sin(1.11868986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.436823656963526-0.436861329615488)×R²
    abs(-0.14285196--0.14294783)×3.7672651961862e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.7672651961862e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.7672651961862e-05×40589641000000     		ar = 71191.7203485642m²