Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31276 / 17048
↖ ↑ ↗
← N 65.016506°
W  8.195801°		 ← 258 m → N 65.016506°
W  8.190307°		 →
↑
257.96 m
↓
↑
257.96 m
↓
N 65.014186°
W  8.195801°		 ← 258.02 m →
66 556 m²		 N 65.014186°
W  8.190307°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477241516113281 y=0.260139465332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477241516113281 × 216)
    floor (0.477241516113281 × 65536)
    floor (31276.5)     		tx = 31276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260139465332031 × 216)
    floor (0.260139465332031 × 65536)
    floor (17048.5)     		ty = 17048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31276 / 17048 ti = "16/31276/17048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31276/17048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31276 ÷ 216
    31276 ÷ 65536     		x = 0.47723388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17048 ÷ 216
    17048 ÷ 65536     		y = 0.2601318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47723388671875 × 2 - 1) × π
    -0.0455322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14304371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2601318359375 × 2 - 1) × π
    0.479736328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.50713612405457
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14304371} λ = -0.14304371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50713612405457))-π/2
    2×atan(4.51378534480966)-π/2
    2×1.35277421467008-π/2
    2.70554842934016-1.57079632675     		φ = 1.13475210
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14304371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.195801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13475210 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.016506°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31276 KachelY 17048 -0.14304371 1.13475210 -8.195801 65.016506
    Oben rechts KachelX + 1 31277 KachelY 17048 -0.14294783 1.13475210 -8.190307 65.016506
    Unten links KachelX 31276 KachelY + 1 17049 -0.14304371 1.13471161 -8.195801 65.014186
    Unten rechts KachelX + 1 31277 KachelY + 1 17049 -0.14294783 1.13471161 -8.190307 65.014186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13475210-1.13471161) × R
    4.04899999999486e-05 × 6371000     		dl = 257.961789999673m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13475210-1.13471161) × R
    4.04899999999486e-05 × 6371000     		dr = 257.961789999673m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14304371--0.14294783) × cos(1.13475210) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.422357149437254 × 6371000     		do = 257.997489822308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14304371--0.14294783) × cos(1.13471161) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.422393850421481 × 6371000     		du = 258.019908672841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13475210)-sin(1.13471161))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422357149437254-0.422393850421481)×R²
    abs(-0.14294783--0.14304371)×3.67009842269228e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.67009842269228e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.67009842269228e-05×40589641000000     		ar = 66556.3859027236m²