Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31276 / 15729
↖ ↑ ↗
← N 67.906553°
W  8.195801°		 ← 229.75 m → N 67.906553°
W  8.190307°		 →
↑
229.74 m
↓
↑
229.74 m
↓
N 67.904487°
W  8.195801°		 ← 229.77 m →
52 785 m²		 N 67.904487°
W  8.190307°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15729 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477241516113281 y=0.240013122558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477241516113281 × 216)
    floor (0.477241516113281 × 65536)
    floor (31276.5)     		tx = 31276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.240013122558594 × 216)
    floor (0.240013122558594 × 65536)
    floor (15729.5)     		ty = 15729
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31276 / 15729 ti = "16/31276/15729"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31276/15729.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31276 ÷ 216
    31276 ÷ 65536     		x = 0.47723388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15729 ÷ 216
    15729 ÷ 65536     		y = 0.240005493164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47723388671875 × 2 - 1) × π
    -0.0455322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14304371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.240005493164062 × 2 - 1) × π
    0.519989013671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.63359366525227
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14304371} λ = -0.14304371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.63359366525227))-π/2
    2×atan(5.12224933209502)-π/2
    2×1.37799463185059-π/2
    2.75598926370117-1.57079632675     		φ = 1.18519294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14304371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.195801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18519294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.906553°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31276 KachelY 15729 -0.14304371 1.18519294 -8.195801 67.906553
    Oben rechts KachelX + 1 31277 KachelY 15729 -0.14294783 1.18519294 -8.190307 67.906553
    Unten links KachelX 31276 KachelY + 1 15730 -0.14304371 1.18515688 -8.195801 67.904487
    Unten rechts KachelX + 1 31277 KachelY + 1 15730 -0.14294783 1.18515688 -8.190307 67.904487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18519294-1.18515688) × R
    3.60600000000044e-05 × 6371000     		dl = 229.738260000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18519294-1.18515688) × R
    3.60600000000044e-05 × 6371000     		dr = 229.738260000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14304371--0.14294783) × cos(1.18519294) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.376118286283413 × 6371000     		do = 229.752411831269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14304371--0.14294783) × cos(1.18515688) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.376151698212803 × 6371000     		du = 229.772821557786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18519294)-sin(1.18515688))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.376118286283413-0.376151698212803)×R²
    abs(-0.14294783--0.14304371)×3.34119293902146e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.34119293902146e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.34119293902146e-05×40589641000000     		ar = 52785.2637779603m²