Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31275 / 38107
↖ ↑ ↗
← S 28.125283°
W  8.201294°		 ← 538.67 m → S 28.125283°
W  8.195801°		 →
↑
538.67 m
↓
↑
538.67 m
↓
S 28.130128°
W  8.201294°		 ← 538.64 m →
290 155 m²		 S 28.130128°
W  8.195801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31275 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477226257324219 y=0.581474304199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477226257324219 × 216)
    floor (0.477226257324219 × 65536)
    floor (31275.5)     		tx = 31275
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581474304199219 × 216)
    floor (0.581474304199219 × 65536)
    floor (38107.5)     		ty = 38107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31275 / 38107 ti = "16/31275/38107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31275/38107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31275 ÷ 216
    31275 ÷ 65536     		x = 0.477218627929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38107 ÷ 216
    38107 ÷ 65536     		y = 0.581466674804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477218627929688 × 2 - 1) × π
    -0.045562744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14313958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581466674804688 × 2 - 1) × π
    -0.162933349609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.51187021414296
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14313958} λ = -0.14313958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.51187021414296))-π/2
    2×atan(0.599373573010583)-π/2
    2×0.539958764891659-π/2
    1.07991752978332-1.57079632675     		φ = -0.49087880
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14313958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.201294°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49087880 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.125283°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31275 KachelY 38107 -0.14313958 -0.49087880 -8.201294 -28.125283
    Oben rechts KachelX + 1 31276 KachelY 38107 -0.14304371 -0.49087880 -8.195801 -28.125283
    Unten links KachelX 31275 KachelY + 1 38108 -0.14313958 -0.49096335 -8.201294 -28.130128
    Unten rechts KachelX + 1 31276 KachelY + 1 38108 -0.14304371 -0.49096335 -8.195801 -28.130128
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49087880--0.49096335) × R
    8.45500000000166e-05 × 6371000     		dl = 538.668050000105m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49087880--0.49096335) × R
    8.45500000000166e-05 × 6371000     		dr = 538.668050000105m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14313958--0.14304371) × cos(-0.49087880) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.881918931924679 × 6371000     		do = 538.665297751044m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14313958--0.14304371) × cos(-0.49096335) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.881879071809394 × 6371000     		du = 538.640951680118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49087880)-sin(-0.49096335))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881918931924679-0.881879071809394)×R²
    abs(-0.14304371--0.14313958)×3.98601152842293e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.98601152842293e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.98601152842293e-05×40589641000000     		ar = 290155.228489894m²