Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31275 / 17057
↖ ↑ ↗
← N 64.995617°
W  8.201294°		 ← 258.17 m → N 64.995617°
W  8.195801°		 →
↑
258.15 m
↓
↑
258.15 m
↓
N 64.993296°
W  8.201294°		 ← 258.19 m →
66 651 m²		 N 64.993296°
W  8.195801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31275 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17057 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477226257324219 y=0.260276794433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477226257324219 × 216)
    floor (0.477226257324219 × 65536)
    floor (31275.5)     		tx = 31275
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260276794433594 × 216)
    floor (0.260276794433594 × 65536)
    floor (17057.5)     		ty = 17057
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31275 / 17057 ti = "16/31275/17057"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31275/17057.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31275 ÷ 216
    31275 ÷ 65536     		x = 0.477218627929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17057 ÷ 216
    17057 ÷ 65536     		y = 0.260269165039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477218627929688 × 2 - 1) × π
    -0.045562744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14313958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260269165039062 × 2 - 1) × π
    0.479461669921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.5062732598614
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14313958} λ = -0.14313958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5062732598614))-π/2
    2×atan(4.50989224091153)-π/2
    2×1.3525919249672-π/2
    2.70518384993439-1.57079632675     		φ = 1.13438752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14313958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.201294°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13438752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.995617°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31275 KachelY 17057 -0.14313958 1.13438752 -8.201294 64.995617
    Oben rechts KachelX + 1 31276 KachelY 17057 -0.14304371 1.13438752 -8.195801 64.995617
    Unten links KachelX 31275 KachelY + 1 17058 -0.14313958 1.13434700 -8.201294 64.993296
    Unten rechts KachelX + 1 31276 KachelY + 1 17058 -0.14304371 1.13434700 -8.195801 64.993296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13438752-1.13434700) × R
    4.05199999999883e-05 × 6371000     		dl = 258.152919999926m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13438752-1.13434700) × R
    4.05199999999883e-05 × 6371000     		dr = 258.152919999926m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14313958--0.14304371) × cos(1.13438752) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.422687587427458 × 6371000     		do = 258.172408931492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14313958--0.14304371) × cos(1.13434700) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.422724309361955 × 6371000     		du = 258.194838239973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13438752)-sin(1.13434700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422687587427458-0.422724309361955)×R²
    abs(-0.14304371--0.14313958)×3.67219344967196e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.67219344967196e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.67219344967196e-05×40589641000000     		ar = 66650.8563343594m²