Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31275 / 15819
↖ ↑ ↗
← N 67.719861°
W  8.201294°		 ← 231.57 m → N 67.719861°
W  8.195801°		 →
↑
231.59 m
↓
↑
231.59 m
↓
N 67.717778°
W  8.201294°		 ← 231.59 m →
53 631 m²		 N 67.717778°
W  8.195801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31275 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15819 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477226257324219 y=0.241386413574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477226257324219 × 216)
    floor (0.477226257324219 × 65536)
    floor (31275.5)     		tx = 31275
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.241386413574219 × 216)
    floor (0.241386413574219 × 65536)
    floor (15819.5)     		ty = 15819
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31275 / 15819 ti = "16/31275/15819"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31275/15819.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31275 ÷ 216
    31275 ÷ 65536     		x = 0.477218627929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15819 ÷ 216
    15819 ÷ 65536     		y = 0.241378784179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477218627929688 × 2 - 1) × π
    -0.045562744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14313958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.241378784179688 × 2 - 1) × π
    0.517242431640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.62496502332066
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14313958} λ = -0.14313958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62496502332066))-π/2
    2×atan(5.07824141405223)-π/2
    2×1.37636543561727-π/2
    2.75273087123453-1.57079632675     		φ = 1.18193454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14313958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.201294°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18193454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.719861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31275 KachelY 15819 -0.14313958 1.18193454 -8.201294 67.719861
    Oben rechts KachelX + 1 31276 KachelY 15819 -0.14304371 1.18193454 -8.195801 67.719861
    Unten links KachelX 31275 KachelY + 1 15820 -0.14313958 1.18189819 -8.201294 67.717778
    Unten rechts KachelX + 1 31276 KachelY + 1 15820 -0.14304371 1.18189819 -8.195801 67.717778
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18193454-1.18189819) × R
    3.63500000000183e-05 × 6371000     		dl = 231.585850000117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18193454-1.18189819) × R
    3.63500000000183e-05 × 6371000     		dr = 231.585850000117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14313958--0.14304371) × cos(1.18193454) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.379135425372433 × 6371000     		do = 231.571280991225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14313958--0.14304371) × cos(1.18189819) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.379169061274424 × 6371000     		du = 231.591825388794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18193454)-sin(1.18189819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379135425372433-0.379169061274424)×R²
    abs(-0.14304371--0.14313958)×3.36359019912913e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.36359019912913e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.36359019912913e-05×40589641000000     		ar = 53631.0108458399m²