Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31275 / 12763
↖ ↑ ↗
← N 73.285254°
W  8.201294°		 ← 175.67 m → N 73.285254°
W  8.195801°		 →
↑
175.65 m
↓
↑
175.65 m
↓
N 73.283675°
W  8.201294°		 ← 175.68 m →
30 857 m²		 N 73.283675°
W  8.195801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31275 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12763 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477226257324219 y=0.194755554199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477226257324219 × 216)
    floor (0.477226257324219 × 65536)
    floor (31275.5)     		tx = 31275
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.194755554199219 × 216)
    floor (0.194755554199219 × 65536)
    floor (12763.5)     		ty = 12763
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31275 / 12763 ti = "16/31275/12763"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31275/12763.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31275 ÷ 216
    31275 ÷ 65536     		x = 0.477218627929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12763 ÷ 216
    12763 ÷ 65536     		y = 0.194747924804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477218627929688 × 2 - 1) × π
    -0.045562744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14313958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.194747924804688 × 2 - 1) × π
    0.610504150390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.91795535379845
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14313958} λ = -0.14313958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91795535379845))-π/2
    2×atan(6.80702627052792)-π/2
    2×1.42493265441959-π/2
    2.84986530883917-1.57079632675     		φ = 1.27906898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14313958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.201294°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27906898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.285254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31275 KachelY 12763 -0.14313958 1.27906898 -8.201294 73.285254
    Oben rechts KachelX + 1 31276 KachelY 12763 -0.14304371 1.27906898 -8.195801 73.285254
    Unten links KachelX 31275 KachelY + 1 12764 -0.14313958 1.27904141 -8.201294 73.283675
    Unten rechts KachelX + 1 31276 KachelY + 1 12764 -0.14304371 1.27904141 -8.195801 73.283675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27906898-1.27904141) × R
    2.75699999998658e-05 × 6371000     		dl = 175.648469999145m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27906898-1.27904141) × R
    2.75699999998658e-05 × 6371000     		dr = 175.648469999145m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14313958--0.14304371) × cos(1.27906898) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.287607017167237 × 6371000     		do = 175.666848651925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14313958--0.14304371) × cos(1.27904141) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.287633422184281 × 6371000     		du = 175.682976513401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27906898)-sin(1.27904141))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.287607017167237-0.287633422184281)×R²
    abs(-0.14304371--0.14313958)×2.64050170433738e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.64050170433738e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.64050170433738e-05×40589641000000     		ar = 30857.0296140146m²