Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31274 / 39545
↖ ↑ ↗
← S 34.854383°
W  8.206787°		 ← 501.27 m → S 34.854383°
W  8.201294°		 →
↑
501.21 m
↓
↑
501.21 m
↓
S 34.858890°
W  8.206787°		 ← 501.24 m →
251 232 m²		 S 34.858890°
W  8.201294°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31274 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477210998535156 y=0.603416442871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477210998535156 × 216)
    floor (0.477210998535156 × 65536)
    floor (31274.5)     		tx = 31274
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.603416442871094 × 216)
    floor (0.603416442871094 × 65536)
    floor (39545.5)     		ty = 39545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31274 / 39545 ti = "16/31274/39545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31274/39545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31274 ÷ 216
    31274 ÷ 65536     		x = 0.477203369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39545 ÷ 216
    39545 ÷ 65536     		y = 0.603408813476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477203369140625 × 2 - 1) × π
    -0.04559326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14323546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.603408813476562 × 2 - 1) × π
    -0.206817626953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.649736737450241
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14323546} λ = -0.14323546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.649736737450241))-π/2
    2×atan(0.522183229955642)-π/2
    2×0.481236293357209-π/2
    0.962472586714417-1.57079632675     		φ = -0.60832374
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14323546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.206787°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60832374 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.854383°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31274 KachelY 39545 -0.14323546 -0.60832374 -8.206787 -34.854383
    Oben rechts KachelX + 1 31275 KachelY 39545 -0.14313958 -0.60832374 -8.201294 -34.854383
    Unten links KachelX 31274 KachelY + 1 39546 -0.14323546 -0.60840241 -8.206787 -34.858890
    Unten rechts KachelX + 1 31275 KachelY + 1 39546 -0.14313958 -0.60840241 -8.201294 -34.858890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60832374--0.60840241) × R
    7.86699999999474e-05 × 6371000     		dl = 501.206569999665m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60832374--0.60840241) × R
    7.86699999999474e-05 × 6371000     		dr = 501.206569999665m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14323546--0.14313958) × cos(-0.60832374) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.82060714066171 × 6371000     		do = 501.26908637188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14323546--0.14313958) × cos(-0.60840241) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.820562178790691 × 6371000     		du = 501.241621346425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60832374)-sin(-0.60840241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.82060714066171-0.820562178790691)×R²
    abs(-0.14313958--0.14323546)×4.49618710195443e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.49618710195443e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.49618710195443e-05×40589641000000     		ar = 251232.476731178m²