Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31273 / 19886
↖ ↑ ↗
← N 57.568888°
W  8.212280°		 ← 327.56 m → N 57.568888°
W  8.206787°		 →
↑
327.60 m
↓
↑
327.60 m
↓
N 57.565942°
W  8.212280°		 ← 327.58 m →
107 311 m²		 N 57.565942°
W  8.206787°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31273 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19886 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477195739746094 y=0.303443908691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477195739746094 × 216)
    floor (0.477195739746094 × 65536)
    floor (31273.5)     		tx = 31273
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303443908691406 × 216)
    floor (0.303443908691406 × 65536)
    floor (19886.5)     		ty = 19886
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31273 / 19886 ti = "16/31273/19886"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31273/19886.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31273 ÷ 216
    31273 ÷ 65536     		x = 0.477188110351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19886 ÷ 216
    19886 ÷ 65536     		y = 0.303436279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477188110351562 × 2 - 1) × π
    -0.045623779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14333133
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.303436279296875 × 2 - 1) × π
    0.39312744140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.23504628181113
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14333133} λ = -0.14333133}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23504628181113))-π/2
    2×atan(3.43853765877297)-π/2
    2×1.28778148228633-π/2
    2.57556296457267-1.57079632675     		φ = 1.00476664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14333133} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.212280°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00476664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.568888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31273 KachelY 19886 -0.14333133 1.00476664 -8.212280 57.568888
    Oben rechts KachelX + 1 31274 KachelY 19886 -0.14323546 1.00476664 -8.206787 57.568888
    Unten links KachelX 31273 KachelY + 1 19887 -0.14333133 1.00471522 -8.212280 57.565942
    Unten rechts KachelX + 1 31274 KachelY + 1 19887 -0.14323546 1.00471522 -8.206787 57.565942
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00476664-1.00471522) × R
    5.14199999999132e-05 × 6371000     		dl = 327.596819999447m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00476664-1.00471522) × R
    5.14199999999132e-05 × 6371000     		dr = 327.596819999447m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14333133--0.14323546) × cos(1.00476664) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.536285193747887 × 6371000     		do = 327.556437573283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14333133--0.14323546) × cos(1.00471522) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.53632859341332 × 6371000     		du = 327.582945558151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00476664)-sin(1.00471522))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.536285193747887-0.53632859341332)×R²
    abs(-0.14323546--0.14333133)×4.33996654325419e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.33996654325419e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.33996654325419e-05×40589641000000     		ar = 107310.789308783m²