Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31273 / 17449
↖ ↑ ↗
← N 64.069798°
W  8.212280°		 ← 267.08 m → N 64.069798°
W  8.206787°		 →
↑
267.07 m
↓
↑
267.07 m
↓
N 64.067396°
W  8.212280°		 ← 267.11 m →
71 333 m²		 N 64.067396°
W  8.206787°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31273 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17449 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477195739746094 y=0.266258239746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477195739746094 × 216)
    floor (0.477195739746094 × 65536)
    floor (31273.5)     		tx = 31273
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.266258239746094 × 216)
    floor (0.266258239746094 × 65536)
    floor (17449.5)     		ty = 17449
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31273 / 17449 ti = "16/31273/17449"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31273/17449.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31273 ÷ 216
    31273 ÷ 65536     		x = 0.477188110351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17449 ÷ 216
    17449 ÷ 65536     		y = 0.266250610351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477188110351562 × 2 - 1) × π
    -0.045623779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14333133
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.266250610351562 × 2 - 1) × π
    0.467498779296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.46869073055928
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14333133} λ = -0.14333133}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.46869073055928))-π/2
    2×atan(4.34354454647574)-π/2
    2×1.34451262346181-π/2
    2.68902524692363-1.57079632675     		φ = 1.11822892
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14333133} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.212280°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11822892 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.069798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31273 KachelY 17449 -0.14333133 1.11822892 -8.212280 64.069798
    Oben rechts KachelX + 1 31274 KachelY 17449 -0.14323546 1.11822892 -8.206787 64.069798
    Unten links KachelX 31273 KachelY + 1 17450 -0.14333133 1.11818700 -8.212280 64.067396
    Unten rechts KachelX + 1 31274 KachelY + 1 17450 -0.14323546 1.11818700 -8.206787 64.067396
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11822892-1.11818700) × R
    4.19199999999176e-05 × 6371000     		dl = 267.072319999475m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11822892-1.11818700) × R
    4.19199999999176e-05 × 6371000     		dr = 267.072319999475m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14333133--0.14323546) × cos(1.11822892) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.437275912026747 × 6371000     		do = 267.082779181527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14333133--0.14323546) × cos(1.11818700) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.437313611447236 × 6371000     		du = 267.105805526498m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11822892)-sin(1.11818700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.437275912026747-0.437313611447236)×R²
    abs(-0.14323546--0.14333133)×3.76994204892567e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.76994204892567e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.76994204892567e-05×40589641000000     		ar = 71333.4923282597m²