Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31272 / 39547
↖ ↑ ↗
← S 34.863398°
W  8.217773°		 ← 501.16 m → S 34.863398°
W  8.212280°		 →
↑
501.14 m
↓
↑
501.14 m
↓
S 34.867905°
W  8.217773°		 ← 501.13 m →
251 147 m²		 S 34.867905°
W  8.212280°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39547 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477180480957031 y=0.603446960449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477180480957031 × 216)
    floor (0.477180480957031 × 65536)
    floor (31272.5)     		tx = 31272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.603446960449219 × 216)
    floor (0.603446960449219 × 65536)
    floor (39547.5)     		ty = 39547
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31272 / 39547 ti = "16/31272/39547"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31272/39547.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31272 ÷ 216
    31272 ÷ 65536     		x = 0.4771728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39547 ÷ 216
    39547 ÷ 65536     		y = 0.603439331054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4771728515625 × 2 - 1) × π
    -0.045654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14342720
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.603439331054688 × 2 - 1) × π
    -0.206878662109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.649928485048721
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14342720} λ = -0.14342720}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.649928485048721))-π/2
    2×atan(0.522083112174311)-π/2
    2×0.481157622943802-π/2
    0.962315245887604-1.57079632675     		φ = -0.60848108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14342720} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.217773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60848108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.863398°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31272 KachelY 39547 -0.14342720 -0.60848108 -8.217773 -34.863398
    Oben rechts KachelX + 1 31273 KachelY 39547 -0.14333133 -0.60848108 -8.212280 -34.863398
    Unten links KachelX 31272 KachelY + 1 39548 -0.14342720 -0.60855974 -8.217773 -34.867905
    Unten rechts KachelX + 1 31273 KachelY + 1 39548 -0.14333133 -0.60855974 -8.212280 -34.867905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60848108--0.60855974) × R
    7.86600000000082e-05 × 6371000     		dl = 501.142860000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60848108--0.60855974) × R
    7.86600000000082e-05 × 6371000     		dr = 501.142860000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14342720--0.14333133) × cos(-0.60848108) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.820517211841237 × 6371000     		do = 501.161878067116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14342720--0.14333133) × cos(-0.60855974) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.820472245530492 × 6371000     		du = 501.134413194451m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60848108)-sin(-0.60855974))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.820517211841237-0.820472245530492)×R²
    abs(-0.14333133--0.14342720)×4.49663107452425e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.49663107452425e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.49663107452425e-05×40589641000000     		ar = 251146.815114564m²