Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31272 / 19754
↖ ↑ ↗
← N 57.955674°
W  8.217773°		 ← 324.07 m → N 57.955674°
W  8.212280°		 →
↑
324.09 m
↓
↑
324.09 m
↓
N 57.952760°
W  8.217773°		 ← 324.10 m →
105 033 m²		 N 57.952760°
W  8.212280°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19754 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477180480957031 y=0.301429748535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477180480957031 × 216)
    floor (0.477180480957031 × 65536)
    floor (31272.5)     		tx = 31272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301429748535156 × 216)
    floor (0.301429748535156 × 65536)
    floor (19754.5)     		ty = 19754
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31272 / 19754 ti = "16/31272/19754"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31272/19754.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31272 ÷ 216
    31272 ÷ 65536     		x = 0.4771728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19754 ÷ 216
    19754 ÷ 65536     		y = 0.301422119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4771728515625 × 2 - 1) × π
    -0.045654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14342720
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301422119140625 × 2 - 1) × π
    0.39715576171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.24770162331082
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14342720} λ = -0.14342720}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24770162331082))-π/2
    2×atan(3.4823300464425)-π/2
    2×1.29115683346373-π/2
    2.58231366692747-1.57079632675     		φ = 1.01151734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14342720} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.217773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01151734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.955674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31272 KachelY 19754 -0.14342720 1.01151734 -8.217773 57.955674
    Oben rechts KachelX + 1 31273 KachelY 19754 -0.14333133 1.01151734 -8.212280 57.955674
    Unten links KachelX 31272 KachelY + 1 19755 -0.14342720 1.01146647 -8.217773 57.952760
    Unten rechts KachelX + 1 31273 KachelY + 1 19755 -0.14333133 1.01146647 -8.212280 57.952760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01151734-1.01146647) × R
    5.08699999999251e-05 × 6371000     		dl = 324.092769999523m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01151734-1.01146647) × R
    5.08699999999251e-05 × 6371000     		dr = 324.092769999523m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14342720--0.14333133) × cos(1.01151734) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.530575177779447 × 6371000     		do = 324.068829653255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14342720--0.14333133) × cos(1.01146647) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.530618296432037 × 6371000     		du = 324.095165998916m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01151734)-sin(1.01146647))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.530575177779447-0.530618296432037)×R²
    abs(-0.14333133--0.14342720)×4.31186525905458e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.31186525905458e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.31186525905458e-05×40589641000000     		ar = 105032.632405135m²