Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31272 / 17305
↖ ↑ ↗
← N 64.413549°
W  8.217773°		 ← 263.78 m → N 64.413549°
W  8.212280°		 →
↑
263.82 m
↓
↑
263.82 m
↓
N 64.411177°
W  8.217773°		 ← 263.81 m →
69 595 m²		 N 64.411177°
W  8.212280°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477180480957031 y=0.264060974121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477180480957031 × 216)
    floor (0.477180480957031 × 65536)
    floor (31272.5)     		tx = 31272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.264060974121094 × 216)
    floor (0.264060974121094 × 65536)
    floor (17305.5)     		ty = 17305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31272 / 17305 ti = "16/31272/17305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31272/17305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31272 ÷ 216
    31272 ÷ 65536     		x = 0.4771728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17305 ÷ 216
    17305 ÷ 65536     		y = 0.264053344726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4771728515625 × 2 - 1) × π
    -0.045654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14342720
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.264053344726562 × 2 - 1) × π
    0.471893310546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.48249655764986
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14342720} λ = -0.14342720}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48249655764986))-π/2
    2×atan(4.40392662463988)-π/2
    2×1.34751242188952-π/2
    2.69502484377904-1.57079632675     		φ = 1.12422852
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14342720} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.217773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12422852 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.413549°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31272 KachelY 17305 -0.14342720 1.12422852 -8.217773 64.413549
    Oben rechts KachelX + 1 31273 KachelY 17305 -0.14333133 1.12422852 -8.212280 64.413549
    Unten links KachelX 31272 KachelY + 1 17306 -0.14342720 1.12418711 -8.217773 64.411177
    Unten rechts KachelX + 1 31273 KachelY + 1 17306 -0.14333133 1.12418711 -8.212280 64.411177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12422852-1.12418711) × R
    4.14099999999085e-05 × 6371000     		dl = 263.823109999417m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12422852-1.12418711) × R
    4.14099999999085e-05 × 6371000     		dr = 263.823109999417m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14342720--0.14333133) × cos(1.12422852) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.431872469819 × 6371000     		do = 263.782422765133m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14342720--0.14333133) × cos(1.12418711) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.431909818563868 × 6371000     		du = 263.805234921724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12422852)-sin(1.12418711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431872469819-0.431909818563868)×R²
    abs(-0.14333133--0.14342720)×3.73487448680487e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.73487448680487e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.73487448680487e-05×40589641000000     		ar = 69594.9083340188m²