Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31272 / 12759
↖ ↑ ↗
← N 73.291573°
W  8.217773°		 ← 175.60 m → N 73.291573°
W  8.212280°		 →
↑
175.65 m
↓
↑
175.65 m
↓
N 73.289993°
W  8.217773°		 ← 175.62 m →
30 846 m²		 N 73.289993°
W  8.212280°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12759 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477180480957031 y=0.194694519042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477180480957031 × 216)
    floor (0.477180480957031 × 65536)
    floor (31272.5)     		tx = 31272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.194694519042969 × 216)
    floor (0.194694519042969 × 65536)
    floor (12759.5)     		ty = 12759
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31272 / 12759 ti = "16/31272/12759"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31272/12759.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31272 ÷ 216
    31272 ÷ 65536     		x = 0.4771728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12759 ÷ 216
    12759 ÷ 65536     		y = 0.194686889648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4771728515625 × 2 - 1) × π
    -0.045654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14342720
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.194686889648438 × 2 - 1) × π
    0.610626220703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.91833884899541
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14342720} λ = -0.14342720}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91833884899541))-π/2
    2×atan(6.80963723302204)-π/2
    2×1.42498779224749-π/2
    2.84997558449497-1.57079632675     		φ = 1.27917926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14342720} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.217773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27917926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.291573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31272 KachelY 12759 -0.14342720 1.27917926 -8.217773 73.291573
    Oben rechts KachelX + 1 31273 KachelY 12759 -0.14333133 1.27917926 -8.212280 73.291573
    Unten links KachelX 31272 KachelY + 1 12760 -0.14342720 1.27915169 -8.217773 73.289993
    Unten rechts KachelX + 1 31273 KachelY + 1 12760 -0.14333133 1.27915169 -8.212280 73.289993
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27917926-1.27915169) × R
    2.75700000000878e-05 × 6371000     		dl = 175.648470000559m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27917926-1.27915169) × R
    2.75700000000878e-05 × 6371000     		dr = 175.648470000559m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14342720--0.14333133) × cos(1.27917926) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.287501394913149 × 6371000     		do = 175.602335870888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14342720--0.14333133) × cos(1.27915169) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.287527800804518 × 6371000     		du = 175.618464266392m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27917926)-sin(1.27915169))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.287501394913149-0.287527800804518)×R²
    abs(-0.14333133--0.14342720)×2.64058913692078e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.64058913692078e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.64058913692078e-05×40589641000000     		ar = 30845.698089897m²