Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31271 / 39523
↖ ↑ ↗
← S 34.755153°
W  8.223267°		 ← 501.87 m → S 34.755153°
W  8.217773°		 →
↑
501.84 m
↓
↑
501.84 m
↓
S 34.759666°
W  8.223267°		 ← 501.85 m →
251 855 m²		 S 34.759666°
W  8.217773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31271 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39523 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477165222167969 y=0.603080749511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477165222167969 × 216)
    floor (0.477165222167969 × 65536)
    floor (31271.5)     		tx = 31271
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.603080749511719 × 216)
    floor (0.603080749511719 × 65536)
    floor (39523.5)     		ty = 39523
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31271 / 39523 ti = "16/31271/39523"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31271/39523.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31271 ÷ 216
    31271 ÷ 65536     		x = 0.477157592773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39523 ÷ 216
    39523 ÷ 65536     		y = 0.603073120117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477157592773438 × 2 - 1) × π
    -0.045684814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14352308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.603073120117188 × 2 - 1) × π
    -0.206146240234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.647627513866959
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14352308} λ = -0.14352308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.647627513866959))-π/2
    2×atan(0.523285793506822)-π/2
    2×0.482102236693263-π/2
    0.964204473386526-1.57079632675     		φ = -0.60659185
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14352308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.223267°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60659185 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.755153°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31271 KachelY 39523 -0.14352308 -0.60659185 -8.223267 -34.755153
    Oben rechts KachelX + 1 31272 KachelY 39523 -0.14342720 -0.60659185 -8.217773 -34.755153
    Unten links KachelX 31271 KachelY + 1 39524 -0.14352308 -0.60667062 -8.223267 -34.759666
    Unten rechts KachelX + 1 31272 KachelY + 1 39524 -0.14342720 -0.60667062 -8.217773 -34.759666
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60659185--0.60667062) × R
    7.87700000000058e-05 × 6371000     		dl = 501.843670000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60659185--0.60667062) × R
    7.87700000000058e-05 × 6371000     		dr = 501.843670000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14352308--0.14342720) × cos(-0.60659185) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.821595671999305 × 6371000     		do = 501.872932202331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14352308--0.14342720) × cos(-0.60667062) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.82155076498497 × 6371000     		du = 501.845500686163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60659185)-sin(-0.60667062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.821595671999305-0.82155076498497)×R²
    abs(-0.14342720--0.14352308)×4.4907014334683e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.4907014334683e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.4907014334683e-05×40589641000000     		ar = 251854.871133593m²